Wyznacz bazę i wymiar przestrzeni liniowych

[Jozin]

Witam,

mam problem ze rozwiązaniem przykładów:

a) \(\displaystyle{ S = \mbox{Lin}( (1,2,3,4) , (0,1,-1,0) , (2,1,4,1) )}\) - wyszła mi baza taka sama, \(\displaystyle{ \mbox{dim}\, S = 3}\)
b) \(\displaystyle{ S = \mbox{Lin}( (0,0,1,0,2) , (1,1,0,2,1) , (1,2,3,0,1) )}\) - wyszła mi baza taka sama, \(\displaystyle{ \mbox{dim}\,S = 3}\)
c) \(\displaystyle{ S = \mbox{Lin}( (0,1,2) , (1,3,7) , (1,2,3) , (1,1,3) , (2,2,6) )}\) - ?

rozwiązanie przykładów byłoby mile widziane. Dzięki.

[karakuku]

Ustawiasz te wektory w wierszach macierzy i sprowadzasz ją do postaci takiej żeby w wierszach były tylko niezależne liniowo wektory (korzystając z operacji elementarnych na macierzy).
Tyle ile niezerowych wierszy, taki jest wymiar.

//\(\displaystyle{ S = \mbox{lin}( (0,1,2) , (1,3,7) , (1,2,3) , (1,1,3) , (2,2,6) )}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}0&1&2\\1&3&7\\1&2&3\\1&1&3\\2&2&6 \end{array} \right]
\overrightarrow{\begin{array}{c}W_2-W_4\\W_3-W_4\\W_5-2W_4\end{array}}
\left[ \begin{array}{ccc}0&1&2\\0&2&4\\0&1&0\\1&1&3\\0&0&0 \end{array} \right]
\overrightarrow{\begin{array}{c}W_2-2W_1\\W_4-W_1\end{array}}
\left[ \begin{array}{ccc}0&1&2\\0&0&0\\0&1&0\\1&0&1\\0&0&0 \end{array} \right]}\)

No i widać, że \(\displaystyle{ (0,1,2),(0,1,0),(1,0,1)}\) są liniowo niezależne więc można je wziąć jako bazę. Wymiar = 3.

[Jozin]

Dzięki za pomoc. Rozjaśniło mi się to i owo.