Metoda Jacobiego

[Benny01]

Czy mógłby mi wytłumaczyć metodę Jacobiego?
... s2/w09.pdf
Znalazłem taki link, ale nie wiem czym są te wszystkie niewiadome.
Może być na przykładzie z linku

[blade]

Nie chce mi się za bardzo patrzeć na metodę opisaną w Twoim linku, dlatego zrobię tutaj jeden przykład ze sprowadzaniem formy kwadratowej do kanonicznej metodą Jacobiego. (Mam nadzieje, że chodziło Ci właśnie o sprowadzanie formy do kanonicznej, a nie sprawdzanie określoności formy z twierdzenia Sylvestera (albo Sylvestra? )

\(\displaystyle{ g(x,y,z)=4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz}\)

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{matrix}4&-2&-2\\-2&2&1\\-2&1&2\end{matrix}\right]}\)

Następnie patrzymy na naszą macierz i odczytujemy:

\(\displaystyle{ A_0:=1 \\ A_1=4 \\ A_2=\left|\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right| = 8 - 4 = 4 \\ A_3= det A = 4}\)

Nasza forma ma postać kanoniczną \(\displaystyle{ g(x',y',z')= \frac{A_0}{A_1}(x')^2 + \frac{A_1}{A_2}(y')^2 + \frac{A_2}{A_3}(z')^2 = \frac{1}{4}(x')^2 + (y')^2 + (z')^2}\)

No dobra, ale czym jest \(\displaystyle{ x',y',z'}\)?

No to lecimy

\(\displaystyle{ 4p_{11} =1 \rightarrow p_{11}=\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}4p_{2
1} -2 p_{22}=0\\-2p_{21}+2p_{22} = 1\end{cases}}\)

Dostaję, że \(\displaystyle{ p_{21}= \frac{1}{2}, p_{22}=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}4p_{31}-2p_{32}-2p_{33}=0\\-2p_{31}+2p_{32}+p_{33}=0\\-2p_{31}+p_{32}+2p_{33}=1\end{cases}}\)

Tutaj dostaję \(\displaystyle{ p_{31}=\frac{1}{2},p_{32}=0,p_{33}=1}\)

Dostaliśmy więc macierz
\(\displaystyle{ P=\left[\begin{matrix}\frac{1}{4}&0&0\\\frac{1}{2}&1&0\\\frac{1}{2}&0&1\end{matrix}\right]}\)

Macierz transponujemy.

\(\displaystyle{ P^T=\left[\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right] = P_{B_k \rightarrow B'}}\)
(\(\displaystyle{ B'}\) to baza dla formy kanonicznej)

Macierz którą transponowaliśmy odwracamy.
Tak się składa, że \(\displaystyle{ (P^T)^{-1}=P}\)

więc już mamy przepis na \(\displaystyle{ x',y',z'}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}\right] = P \cdot \left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]}\).


Mogą być błędy obliczeniowe, bo nie liczyłem tego sam, tylko przepisywałem do wolframa, bo nie mam pod ręką zeszytu, a jak wiadomo, mogłem coś źle przepisać, ale ważna jest chyba idea?

[Benny01]

Ok to zacznijmy od tego czym są te "\(\displaystyle{ p}\)" i jak zostały policzone.
Po co transponowaliśmy macierz i ją odwracaliśmy?
Jak ta postać kanoniczna ma się do początkowej formy kwadratowej?

[blade]

Coś mi się wydaję, że studiujesz na AGH, w Krakowie, więc na wykładzie masz całą tę metodę wraz z dowodem. (wrzucałeś identyczne zadania jak z egzaminu)

Twierdzenie o metodzie Jacobiego brzmi:

Niech \(\displaystyle{ A=[a_{ij}]_{n\times n}}\) będzie macierzą formy kwadratowej \(\displaystyle{ g:\RR^n \rightarrow \RR}\) w bazie \(\displaystyle{ B=(e_1,e_2,...,e_n)}\) w \(\displaystyle{ \RR^n}\).
Jeżeli wszystkie minory główne macierzy \(\displaystyle{ A}\) są różne od zera, to istnieje baza \(\displaystyle{ B'=(e_1',...,e_n')}\) w \(\displaystyle{ \RR^n}\), w której \(\displaystyle{ g}\) ma następującą postać kanoniczną

\(\displaystyle{ g(x) = \frac{A_0}{A_1}(x_1')^2 + ... + \frac{A_{n-1}}{A_n}(x_n')^2}\) dla \(\displaystyle{ x=x_1'e_1' + ... x_n'e_n'}\)

Cała metoda opiera się tak naprawdę na dowodzie tego twierdzenia, nie będę go jednak tutaj pisał.

[Benny01]

Coś znalazłem w tym dowodzie, lecz tylko to posiadam, bo mam lukę w notatkach właśnie jak był Jacobi.

[blade]

Jak będziesz potrzebował, napisz na priv, to mogę wysłać Ci zdjęcie tego dowodu.

[Benny01]

Nie trzeba, dowód posiadam. Czytam go właśnie i zaczynam ogarniać o co chodzi