wektory i wartości własne

[matematix]

Dane są macierze kwadratowe \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) rozmiaru \(\displaystyle{ 5x5}\) spełniające następujące warunki:
1) Wektor \(\displaystyle{ (1,10,100,1000,10000)}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\) odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\).
2) Wektor \(\displaystyle{ (0,1,2,3,4)}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\) odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ -1}\).
3) Wektor \(\displaystyle{ (1,11,102,1003,10004)}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ B}\) odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\).
4) Wektor \(\displaystyle{ (1,9,98,997,9996)}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ B}\) odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ 4}\).
Podać(wraz z uzasadnieniem poprawności) przykład niezerowego wektora własnego macierzy \(\displaystyle{ AB}\) i odpowiadającej mu wartości własnej.

Proszę o pomoc

[Premislav]

Wystarczy wykorzystać łączność mnożenia macierzy i pewne podstawowe fakty o wartościach oraz wektorach własnych. Oznaczmy \(\displaystyle{ u=(1,10,100,1000,10000), v=(0,1,2,3,4), w=(1,11,102,1003,10004),\\z=(1,9,98,997,9996)}\).
Wówczas:
\(\displaystyle{ Au=u, \ Av=-v, \ Bw=w, \ Bz=4z}\)
Ponadto zauważ, że mamy:
\(\displaystyle{ z+v=u, \ u+v=w}\)
I teraz trochę żmudnych rachunków:
\(\displaystyle{ AB w=A(Bw)=Aw=A(u+v)=Au+Av=u-v=z\\ABz=A(Bz)=A4z=4Az=4A(u-v)=4(u+v)=4w\\ABu=A(Bu)=A(Bw)-A(Bv)=Aw-A(Bv)=A(u+v)-A(Bv)=\\=u-v-A(Bv)=z-A(Bv)}\)
Zatem \(\displaystyle{ AB(u+v+w+z)=2z+4w=2z+2w+2(u+v)=2(u+v+w+z)}\)
Pewnie da się ładniej, ale nie widzę jak. To jest trochę na pałę liczone.