ortogonalizacja Gramma-Schmidta

[marpus]

Przeprowadź ortogonalizację Gramma-Schmidta dla wektorów

\(\displaystyle{ V_{1} = \begin{bmatrix} 1\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ V_{2} = \begin{bmatrix} 1\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ V_{3} = \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\0\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ V_{3} = \begin{bmatrix} 0\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}\)

Mógłby ktoś wytłumaczyć jak się to robi, najlepiej rozwiązując i tłumacząc co się teraz dzieje, skąd się to bierze
Z góry dziękuję.
Pozdrawiam, Marcin

[squared]

Po pierwsze nie zdefiniowałeś jak wyglądać ma iloczyn skalarny u Ciebie zapewne "klasycznie".

Tu masz cały algorytm opisany: 298821.htm (Ciebie interesuje przykład z \(\displaystyle{ RR^3}\) - ty masz \(\displaystyle{ RR^4}\), ale to będzie dokładnie tak samo).

Próbuj liczyć sobie według tego. Pokaż rachunki sprawdzimy, czy się nie pomyliłeś i czy dobrze algorytm stosujesz.

[marpus]

W zadaniu nie mam napisane jak ma wyglądać iloczyn skalarny. Całą treść zadania przepisałem wyżej

[squared]

Czyli zwykły iloczyn skalarny, tzn. suma iloczynów kolejnych współrzędnych. Co do ortogonalizacji masz w podanym linku wszystko. Do roboty!

[marpus]

sprawdzi ktoś?

[SidCom]

W linku podanym przez squared masz wszystko co potrzeba ale żebyś zrozumiał dlaczego tak się to liczy podpowiem:

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/46Rh/

Weźmy przestrzeń \(\displaystyle{ R^2}\) - płaszczyznę.
Masz dwa wektory \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_2}\), które jak widzisz nie są prostopadłe, ale są liniowo niezależne (na rysunku: nie są równoległe) a więc tworzą bazę pewnej przestrzeni. Baza ta nie jest bazą ortogonalną (nie tworzą jej wektory prostopadłe). Chciałbyś zatem stworzyć nową bazę \(\displaystyle{ W_1,W_2}\), która byłaby ortogonalna. Co robisz ?

Jako \(\displaystyle{ W_1}\) obierasz sobie jakiś wektor starej bazy, np. pierwszy a więc: \(\displaystyle{ W_1=V_1}\). Teraz za wektor \(\displaystyle{ W_2}\) przyjmujesz prostopadłą do \(\displaystyle{ V_1}\) składową wektora \(\displaystyle{ V_2}\) (zielony na rysunku). Teraz podstawówka dodawanie/odejmowanie wektorów:
\(\displaystyle{ W_2=V_{\perp}=V_2-V_{\parallel}}\) (*)

Możemy zapisać:
\(\displaystyle{ V_{\parallel}=kV_1=kW_1}\) , gdzie \(\displaystyle{ k \in R}\)

czyli równanie (*) przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ W_2=V_{\perp}=V_2-kW_1}}\) (**)

i teraz obie strony równania (**) traktujemy iloczynem skalarnym z wektorem \(\displaystyle{ W_1}\) oznaczę go \(\displaystyle{ (|)}\)
wiemy, że ma być \(\displaystyle{ W_1 \perp W_2}\) (***)

mamy:

\(\displaystyle{ (W_2|W_1)=(V_2|W_1)-k(W_1|W_1)=0}\) to jest zero na mocy (***)

obliczmy \(\displaystyle{ k= \frac{(V_2|W_1)}{(W_1|W_1)}}\)

Ostatecznie wracając do (**) dostajemy

\(\displaystyle{ W_2=V_2-\frac{(V_2|W_1)}{(W_1|W_1)}W_1}\) (****)

Jest tu trochę drobnych nieścisłości ale nie chcę Ci mieszać w głowie.
Idea jak widzisz jest prosta. Jeżeli wchodzi się w wyżej wymiarowe przestrzenie to liczymy \(\displaystyle{ W_3,W_4,...,W_n}\) tak samo to znaczy mając wyznaczone \(\displaystyle{ W_1,W_2}\) szukamy składowej prostopadłej wektora \(\displaystyle{ V_3}\) do obu \(\displaystyle{ W_1,W_2}\) itd.

Ostatnia uwaga: liczbę \(\displaystyle{ k}\) indeksuje się dla uporządkowania formalizmu i zapisuje zwyczajowo z minusem (wtedy znak przed \(\displaystyle{ k}\) w naszych równaniach zmienia się na przeciwny):

\(\displaystyle{ k_{ij}=-\frac{(V_j|W_i)}{(W_i|W_i)}}\)

ale nic nie stoi na przeszkodzie by użyć np. liczb \(\displaystyle{ k,l,m,n...}\) albo innych

\(\displaystyle{ }\)

[marpus]

No to zrobiłem, dałem wyżej zdjęcia tego co mi tam powychodziło, nie ogarniam tylko tego ostatniego kroku, jak zapisać tą baze ortogonalną

\(\displaystyle{ e_{1}= \frac{u_{1}}{||u_{1}||}}\)
Bo nijak mi się nie zgadza to co jest w tym przykładzie Nie wiem jak to podstawić.

[SidCom]

Każdą współrzędną każdego wektora \(\displaystyle{ U_i}\) dzielisz przez jego normę \(\displaystyle{ ||U_i||}\) czyli długość wektora \(\displaystyle{ U_i}\)

np. weźmy wektor \(\displaystyle{ U_1=(1,2,1)}\) Jego norma to \(\displaystyle{ ||U_1||=\sqrt{6}}\)
zatem dostajemy pierwszy wektor bazy ortonormalnej \(\displaystyle{ E_1=(1/\sqrt{6},2/\sqrt{6},1/\sqrt{6})}\)

Sprawdź sobie, że norma takiego wektora \(\displaystyle{ E_1}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\) i taką bazę złożoną z wektorów jednostkowych nazywamy bazą ortonormalną

[marpus]

Sprawdzi ktoś?

\(\displaystyle{ V_{1} = \begin{bmatrix} 1\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ V_{2} = \begin{bmatrix} 1\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ V_{3} = \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\0\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ V_{3} = \begin{bmatrix} 0\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}\)


\(\displaystyle{ u_{1} = v_{1}}\)
\(\displaystyle{ u_{2} = v_{2} - \frac{v_{2}*u_{1}}{u_{1}*u_{1}} u_{1}}\)

\(\displaystyle{ u_{3} = v_{3} - \frac{v_{3}*u_{1}}{u_{1}*u_{1}} u_{1} - \frac{v_{3}*u_{2}}{u_{2}*u_{2}} u_{2}}\)
\(\displaystyle{ u_{4} = v_{4} - \frac{v_{4}*u_{1}}{u_{1}*u_{1}} u_{1} - \frac{v_{4}*u_{2}}{u_{2}*u_{2}} u_{2} - \frac{v_{4}*u_{3}}{u_{3}*u_{3}} u_{3}}\)


\(\displaystyle{ v_{2}*u_{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ u_{1}*u_{1} = 2}\)
\(\displaystyle{ u_{2}=V_{2} = \begin{bmatrix} 1\\0\\1\\0\end{bmatrix}- \frac{1}{2}V_{1} = \begin{bmatrix} 1\\1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\1\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ v_{3}*u_{1} = 2}\)
\(\displaystyle{ v_{3}*u_{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ u_{2}*u_{2} = \frac{9}{8}}\)

\(\displaystyle{ u_{3}= \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\0\end{bmatrix} - \frac{2}{2} - \frac{1}{ \frac{9}{8} } \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\- \frac{1}{2} \\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\1\\0\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \frac{4}{9} \\-\frac{4}{9}\\\frac{8}{9}\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{4}{9} \\\frac{4}{9}\\\frac{1}{9}\\0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ v_{4}*u_{1}=0}\)
\(\displaystyle{ v_{4}*u_{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ v_{4}*u_{3}= - \frac{1}{9}}\)
\(\displaystyle{ u_{3}*u_{3}= \frac{11}{27}}\)

\(\displaystyle{ u_{4} = \begin{bmatrix} 0\\0\\-1\\1\end{bmatrix} - 0*\begin{bmatrix} 1\\1\\0\\0\end{bmatrix} - \frac{-1}{ \frac{9}{8} } \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\1\\0\end{bmatrix} - \frac{- \frac{1}{9} }{ \frac{11}{27} } \begin{bmatrix} -\frac{4}{9} \\ \frac{4}{9} \\ \frac{1}{9} \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\-1\\1\end{bmatrix} + \frac{8}{9} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\1\\0\end{bmatrix} + \frac{3}{11} \begin{bmatrix} -\frac{4}{9} \\ \frac{4}{9} \\ \frac{1}{9} \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \0 \\ \-1\\1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{8}{18} \\- \frac{8}{18} \\ \frac{8}{9} \\0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\frac{12}{99} \\ \frac{12}{99} \\ \frac{3}{99} \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{9} \\ -\frac{4}{9} \\ -\frac{1}{9} \\1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\frac{4}{33} \\ \frac{4}{33} \\ \frac{1}{33} \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{32}{99} \\ -\frac{32}{99} \\ -\frac{8}{99} \\1\end{bmatrix}}\)


\(\displaystyle{ ||u_{1}|| = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ ||u_{2}|| = \frac{3}{2 \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ ||u_{3}|| = \sqrt{ \frac{11}{27} }}\)
\(\displaystyle{ ||u_{4}|| = \frac{19}{3 \sqrt{33} }}\)


\(\displaystyle{ e_{1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ 0 \\0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ e_{2} = \begin{bmatrix} \frac{ \sqrt{2} }{3} \\ -\frac{ \sqrt{2} }{3} \\ \frac{2 \sqrt{2} }{3} \\0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ e_{3} = \begin{bmatrix} -\frac{4}{33} \\ \frac{4}{33} \\ \frac{1}{ \sqrt{33} } \\0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ e_{4} = \begin{bmatrix} \frac{32}{19 \sqrt{33} } \\ -\frac{32}{19 \sqrt{33} } \\ -\frac{8}{19 \sqrt{33} } \\ \frac{3 \sqrt{33} }{19} \end{bmatrix}}\)

[SidCom]

Mogłeś dostrzec, że \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_4}\) są prostopadłe...

[marpus]

i co wtedy można było zrobić?

[karakuku]

Cel ortogonalizacji jest taki żeby mieć bazę prostopadłą, więc im więcej mamy na początku wektorów prostopadłych tym mniej roboty.

Możemy od razu wziąć \(\displaystyle{ u_2=V_4}\).

Z resztą ustaw sobie te wektory do ortogonalizacji w takiej kolejności żeby najpierw były wektory prostopadłe (\(\displaystyle{ V_1,V_4,V_2,V_3}\)) i zobacz co się stanie jak zaczniesz ortogonalizację Gramma-Schmidta

[marpus]

aha
to jak bym tak zrobił to wtedy wzór na \(\displaystyle{ U_{3}}\) oraz \(\displaystyle{ U_{4}}\) będzie wyglądał tak samo, jak mam zapisane wyżej? Czy może się zmieni?

[blade]

Skalary będą inne, (w Twoim przypadku, jest to iloraz iloczynów skalarnych, które masz we wzorach na kolejne wektory \(\displaystyle{ u_i, i=1,2,3,4}\)). Zatem końcowo, wektory po ortogonalizacji, będą inne.

[marpus]

mam na myśli ten wzór: \(\displaystyle{ u_{3} = v_{3} - \frac{v_{3}*u_{1}}{u_{1}*u_{1}} u_{1} - \frac{v_{3}*u_{2}}{u_{2}*u_{2}} u_{2}}\)

i tak samo na \(\displaystyle{ v_{4}}\)

Czy będą takie same czy inne