Odwzorowanie liniowe

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 29 sie 2016, o 17:14

Niech \(\displaystyle{ f:R[x]_2 \rightarrow R[x]_2}\) będzie odwzorowaniem takim, że
\(\displaystyle{ f(w(x))=(x-1)^2w''(x)-(2x-2)w'(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ w \in R[x]_2}\).
Miałem do wyznaczenia \(\displaystyle{ kerf}\), \(\displaystyle{ imf}\) oraz ich bazy i wymiary.
Jądro wyszło mi trywialne, a obraz \(\displaystyle{ (2-2x^2,2-2x)}\), więc nie zgadza mi się ze wzorem
\(\displaystyle{ dimR[x]_2=dimimf+dimkerf}\)
Co jest nie tak?

AloneAngel · Post autor: **AloneAngel** » 29 sie 2016, o 18:14

Czemu jądro trywialne?

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 29 sie 2016, o 18:20

Skoro \(\displaystyle{ w(x) \in R[x]_2}\) to \(\displaystyle{ w(x)=ax^2+bx+c}\), \(\displaystyle{ w'(x)=2ax+b}\), \(\displaystyle{ w''(x)=2a}\).
\(\displaystyle{ f(w(x))=(x-1)^2*2a-(2x-2)(2ax+b)=-2ax^2-2bx+2(a+b)}\)

AloneAngel · Post autor: **AloneAngel** » 29 sie 2016, o 18:21

Z tego warunku masz \(\displaystyle{ a = b = 0}\). A co z \(\displaystyle{ c}\) ?

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 29 sie 2016, o 18:25

No jest dowolne, ale jest to wyraz wolny \(\displaystyle{ w(x)}\), a nie \(\displaystyle{ f(w(x))}\).

AloneAngel · Post autor: **AloneAngel** » 29 sie 2016, o 18:27

No okej, ale co to jest z definicji jądro? \(\displaystyle{ Ker f = \{ w \in \RR_2[x]: f(w) = 0 \}}\). Więc szukasz takich wielomianów stopnia co najwyżej dwa, aby na nich zerowało się Twoje \(\displaystyle{ f}\). Czy nie zeruje się ono na dowolnej funkcji stałej?

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 29 sie 2016, o 18:59

Faktycznie, nawet nie pomyślałem o tym, teraz będę pamiętał o każdym wprowadzonym parametrze czy przypadkiem go gdzieś nie pominąłem