sprowadzenie formy kwadratowej

[marpus]

Za pomocą przekształcenia ortogonalnego sprowadzić formę kwadratową \(\displaystyle{ f(x,x) = 3x _{1} ^{2} - 4x _{1}x _{2}}\) do postaci diagonalnej.

Mógłby mi ktoś to wytłumaczyć? Najlepiej rozwiązując i krok po kroku mówiąc co robi
Z góry dzięki,
Pozdrawiam, Marcin

[karakuku]

Znajduję bazę prostopadłą \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{\alpha_1,\alpha_2\}}\) formy dwuliniowej zadanej macierzą \(\displaystyle{ A}\)

\(\displaystyle{ A= \left[ \begin{array}{cc} 3&-2\\-2&0\end{array} \right]}\)

To będzie baza \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{(1,0),(2,3)\}}\)

Nasze przekształcenie ortogonalne jest zadane macierzą \(\displaystyle{ P= \left[ \begin{array}{cc} 1&2\\0&3 \end{array} \right]}\)

A macierz diagonalna \(\displaystyle{ D=P^T \cdot A \cdot P}\)

Czyli \(\displaystyle{ D= \left[ \begin{array}{cc} 3&0\\0&-18 \end{array} \right]}\) - na przekątnej ma odpowiednio \(\displaystyle{ f(\alpha_1,\alpha_1), f(\alpha_2,\alpha_2)}\)

[marpus]

Nie rozumiem tego, skąd się to bierze.. Mógłbyś bardziej szczegółowo to rozpisać?

[karakuku]

Ale ideowo, czy nie rozumiesz któregoś technicznego ruchu w moim rozwiązaniu?

[marpus]

właściwie to żadnego nie rozumiem

[karakuku]

OK.

Rozumiesz, że macierz tej formy w bazie standardowej to \(\displaystyle{ A=G(f;st)= \left[ \begin{array}{ccc} 3&-2&0\\-2&0&0\\0&0&0 \end{array} \right]}\)?

[marpus]

masz na myśli to jak z tego \(\displaystyle{ f(x,x) = 3x _{1} ^{2} - 4x _{1}x _{2}}\) przejść na macierz??
Jeśli tak to wiem, nie wiem tylko dlaczego ta macierz jest wymiaru 3x3 a nie 2x2

[karakuku]

Oj przepraszam... późno jest

Już zrobiłem korektę rozwiązania. Nie wiem dlaczego uznałem, że to jest w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)

Teraz wszystko jest jasne?

[marpus]

spoko
tego dalej też nie wiem skąd się to wszystko bierze, co jest czym

[karakuku]

\(\displaystyle{ A=G(f;st)= \left[ \begin{array}{cc} 3&-2\\-2&0\end{array} \right]}\) - mamy tą macierz w bazie standardowej

chcemy znaleźć jakąś bazę \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) dla której \(\displaystyle{ G(f;\mathcal{A})= \left[ \begin{array}{cc} a_1&0\\0&a_2\end{array} \right]}\)

Czy jasne dla Ciebie jest jak powinna wyglądać baza \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\)?

[marpus]

Jak Ty wyliczasz tą bazę, bo rozumiem, że przekształcenie ortogonalne to są wektory z tej bazy właśnie?

[karakuku]

Przede wszystkim to w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) muszą być takie wektory \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2}\), że:
\(\displaystyle{ G(f;\mathcal{A})= \left[ \begin{array}{cc} a_1&0\\0&a_2\end{array} \right]}\)

Czyli z definicji macierzy Grama:
\(\displaystyle{ f(\alpha_1,\alpha_1)=a_1}\) | \(\displaystyle{ f(\alpha_1,\alpha_2)=0}\)
\(\displaystyle{ f(\alpha_2,\alpha_1)=0}\) | \(\displaystyle{ f(\alpha_2,\alpha_2)=a_2}\)

A to oznacza po prostu że wektory \(\displaystyle{ \alpha_1}\) i \(\displaystyle{ \alpha_2}\) są prostopadłe w formie \(\displaystyle{ f}\).

Czyli szukamy bazy prostopadłej tej formy:
Bierzemy jako \(\displaystyle{ \alpha_1=(1,0)}\)

\(\displaystyle{ \alpha_2=(b_1,b_2)}\) musi być prostopadły z \(\displaystyle{ \alpha_1}\) więc:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} b_1&b_2\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc} 3&-2\\-2&0\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{c} 1\\0\end{array} \right]=0}\)

Czyli \(\displaystyle{ \alpha_2=(2,3)}\)

I teraz nasze przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi}\) ma przekształcać bazę \(\displaystyle{ st}\) na bazę \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\)
\(\displaystyle{ \varphi((1,0))=(1,0)}\)
\(\displaystyle{ \varphi((0,1))=(2,3)}\)
Czyli widać, że macierz \(\displaystyle{ P=M(\varphi)_{st}^{st}}\) to te wektory z \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) ustawione w kolumnach.

Wiemy, że:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} x_1&x_2\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc} 3&-2\\-2&0\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array} \right]=3x_1^2-4x_1x_2}\)

A jak podstawimy \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array} \right]=P \cdot \left[ \begin{array}{c} y_1\\y_2\end{array} \right]}\)

to mamy \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} y_1&y_2\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc} 3&0\\0&-18\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{c} y_1\\y_2\end{array} \right]=3y_1^2-18y_2^2}\)

[marpus]

Już ogarniam. Dzięki wielkie!

[karakuku]

To moje przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi}\) nie zachowuje iloczynu skalarnego, czyli nie jest ortogonalne.
Więc trzeba wziąć te \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2}\) tak żeby nie tylko były ze sobą prostopadłe w formie \(\displaystyle{ f}\) ale też były bazą ortonormalną w standardowym iloczynie skalarnym.

Czyli 3 warunki muszą spełniać (a nie 1...):

- na postać diagonalną - \(\displaystyle{ 1.f(\alpha_1,\alpha_2)=0}\)

- na bazę ortonormalną - \(\displaystyle{ \begin{cases} 2.<\alpha_1,\alpha_2>=0 \\ 3.||\alpha_1||=||\alpha_2||=1 \end{cases}}\)


Czyli jak jako \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2}\) weźmiemy unormowane wektory własne przekształcenia zadanego macierzą \(\displaystyle{ A}\) wtedy wszystko się zgodzi.

Ukryta treść:    

Załóżmy, że znaleźliśmy wektory własne \(\displaystyle{ v_1,v_2}\) z wartościami własnymi odpowiednio \(\displaystyle{ w_1,w_2}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ A \cdot v_1 =w_1v_1}\) i \(\displaystyle{ A \cdot v_2 =w_2v_2}\)

A ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą symetryczną to \(\displaystyle{ v^T \cdot A=(A \cdot v)^T}\)

Więc: \(\displaystyle{ f(v_1,v_2)=v_1^T \cdot A \cdot v_2=v_1^T \cdot w_2v_2=w_2 \cdot (v_1^Tv_2)=w_2 \cdot <v_1,v_2>}\)

A wiemy, że wektory własne są prostopadłe czyli \(\displaystyle{ <v_1,v_2>=0=f(v_1,v_2)}\)

Więc
\(\displaystyle{ \alpha_1= \frac{v_1}{||v_1||} \Rightarrow ||\alpha_1||=1}\)

\(\displaystyle{ \alpha_2= \frac{v_2}{||v_2||}\Rightarrow ||\alpha_2||=1}\)