sprowadzenie formy kwadratowej
-
- Użytkownik
- Posty: 88
- Rejestracja: 4 lut 2016, o 23:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 24 razy
sprowadzenie formy kwadratowej
Za pomocą przekształcenia ortogonalnego sprowadzić formę kwadratową \(\displaystyle{ f(x,x) = 3x _{1} ^{2} - 4x _{1}x _{2}}\) do postaci diagonalnej.
Mógłby mi ktoś to wytłumaczyć? Najlepiej rozwiązując i krok po kroku mówiąc co robi
Z góry dzięki,
Pozdrawiam, Marcin
Mógłby mi ktoś to wytłumaczyć? Najlepiej rozwiązując i krok po kroku mówiąc co robi
Z góry dzięki,
Pozdrawiam, Marcin
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
sprowadzenie formy kwadratowej
Znajduję bazę prostopadłą \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{\alpha_1,\alpha_2\}}\) formy dwuliniowej zadanej macierzą \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ A= \left[ \begin{array}{cc} 3&-2\\-2&0\end{array} \right]}\)
To będzie baza \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{(1,0),(2,3)\}}\)
Nasze przekształcenie ortogonalne jest zadane macierzą \(\displaystyle{ P= \left[ \begin{array}{cc} 1&2\\0&3 \end{array} \right]}\)
A macierz diagonalna \(\displaystyle{ D=P^T \cdot A \cdot P}\)
Czyli \(\displaystyle{ D= \left[ \begin{array}{cc} 3&0\\0&-18 \end{array} \right]}\) - na przekątnej ma odpowiednio \(\displaystyle{ f(\alpha_1,\alpha_1), f(\alpha_2,\alpha_2)}\)
\(\displaystyle{ A= \left[ \begin{array}{cc} 3&-2\\-2&0\end{array} \right]}\)
To będzie baza \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{(1,0),(2,3)\}}\)
Nasze przekształcenie ortogonalne jest zadane macierzą \(\displaystyle{ P= \left[ \begin{array}{cc} 1&2\\0&3 \end{array} \right]}\)
A macierz diagonalna \(\displaystyle{ D=P^T \cdot A \cdot P}\)
Czyli \(\displaystyle{ D= \left[ \begin{array}{cc} 3&0\\0&-18 \end{array} \right]}\) - na przekątnej ma odpowiednio \(\displaystyle{ f(\alpha_1,\alpha_1), f(\alpha_2,\alpha_2)}\)
Ostatnio zmieniony 29 sie 2016, o 00:34 przez karakuku, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 88
- Rejestracja: 4 lut 2016, o 23:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 24 razy
sprowadzenie formy kwadratowej
Nie rozumiem tego, skąd się to bierze.. Mógłbyś bardziej szczegółowo to rozpisać?
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
sprowadzenie formy kwadratowej
OK.
Rozumiesz, że macierz tej formy w bazie standardowej to \(\displaystyle{ A=G(f;st)= \left[ \begin{array}{ccc} 3&-2&0\\-2&0&0\\0&0&0 \end{array} \right]}\)?
Rozumiesz, że macierz tej formy w bazie standardowej to \(\displaystyle{ A=G(f;st)= \left[ \begin{array}{ccc} 3&-2&0\\-2&0&0\\0&0&0 \end{array} \right]}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 88
- Rejestracja: 4 lut 2016, o 23:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 24 razy
sprowadzenie formy kwadratowej
masz na myśli to jak z tego \(\displaystyle{ f(x,x) = 3x _{1} ^{2} - 4x _{1}x _{2}}\) przejść na macierz??
Jeśli tak to wiem, nie wiem tylko dlaczego ta macierz jest wymiaru 3x3 a nie 2x2
Jeśli tak to wiem, nie wiem tylko dlaczego ta macierz jest wymiaru 3x3 a nie 2x2
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
sprowadzenie formy kwadratowej
Oj przepraszam... późno jest
Już zrobiłem korektę rozwiązania. Nie wiem dlaczego uznałem, że to jest w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)
Teraz wszystko jest jasne?
Już zrobiłem korektę rozwiązania. Nie wiem dlaczego uznałem, że to jest w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)
Teraz wszystko jest jasne?
Ostatnio zmieniony 29 sie 2016, o 00:38 przez karakuku, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 88
- Rejestracja: 4 lut 2016, o 23:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 24 razy
sprowadzenie formy kwadratowej
spoko
tego dalej też nie wiem skąd się to wszystko bierze, co jest czym
tego dalej też nie wiem skąd się to wszystko bierze, co jest czym
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
sprowadzenie formy kwadratowej
\(\displaystyle{ A=G(f;st)= \left[ \begin{array}{cc} 3&-2\\-2&0\end{array} \right]}\) - mamy tą macierz w bazie standardowej
chcemy znaleźć jakąś bazę \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) dla której \(\displaystyle{ G(f;\mathcal{A})= \left[ \begin{array}{cc} a_1&0\\0&a_2\end{array} \right]}\)
Czy jasne dla Ciebie jest jak powinna wyglądać baza \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\)?
chcemy znaleźć jakąś bazę \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) dla której \(\displaystyle{ G(f;\mathcal{A})= \left[ \begin{array}{cc} a_1&0\\0&a_2\end{array} \right]}\)
Czy jasne dla Ciebie jest jak powinna wyglądać baza \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 88
- Rejestracja: 4 lut 2016, o 23:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 24 razy
sprowadzenie formy kwadratowej
Jak Ty wyliczasz tą bazę, bo rozumiem, że przekształcenie ortogonalne to są wektory z tej bazy właśnie?
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
sprowadzenie formy kwadratowej
Przede wszystkim to w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) muszą być takie wektory \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2}\), że:
\(\displaystyle{ G(f;\mathcal{A})= \left[ \begin{array}{cc} a_1&0\\0&a_2\end{array} \right]}\)
Czyli z definicji macierzy Grama:
\(\displaystyle{ f(\alpha_1,\alpha_1)=a_1}\) | \(\displaystyle{ f(\alpha_1,\alpha_2)=0}\)
\(\displaystyle{ f(\alpha_2,\alpha_1)=0}\) | \(\displaystyle{ f(\alpha_2,\alpha_2)=a_2}\)
A to oznacza po prostu że wektory \(\displaystyle{ \alpha_1}\) i \(\displaystyle{ \alpha_2}\) są prostopadłe w formie \(\displaystyle{ f}\).
Czyli szukamy bazy prostopadłej tej formy:
Bierzemy jako \(\displaystyle{ \alpha_1=(1,0)}\)
\(\displaystyle{ \alpha_2=(b_1,b_2)}\) musi być prostopadły z \(\displaystyle{ \alpha_1}\) więc:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} b_1&b_2\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc} 3&-2\\-2&0\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{c} 1\\0\end{array} \right]=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ \alpha_2=(2,3)}\)
I teraz nasze przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi}\) ma przekształcać bazę \(\displaystyle{ st}\) na bazę \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\)
\(\displaystyle{ \varphi((1,0))=(1,0)}\)
\(\displaystyle{ \varphi((0,1))=(2,3)}\)
Czyli widać, że macierz \(\displaystyle{ P=M(\varphi)_{st}^{st}}\) to te wektory z \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) ustawione w kolumnach.
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} x_1&x_2\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc} 3&-2\\-2&0\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array} \right]=3x_1^2-4x_1x_2}\)
A jak podstawimy \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array} \right]=P \cdot \left[ \begin{array}{c} y_1\\y_2\end{array} \right]}\)
to mamy \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} y_1&y_2\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc} 3&0\\0&-18\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{c} y_1\\y_2\end{array} \right]=3y_1^2-18y_2^2}\)
\(\displaystyle{ G(f;\mathcal{A})= \left[ \begin{array}{cc} a_1&0\\0&a_2\end{array} \right]}\)
Czyli z definicji macierzy Grama:
\(\displaystyle{ f(\alpha_1,\alpha_1)=a_1}\) | \(\displaystyle{ f(\alpha_1,\alpha_2)=0}\)
\(\displaystyle{ f(\alpha_2,\alpha_1)=0}\) | \(\displaystyle{ f(\alpha_2,\alpha_2)=a_2}\)
A to oznacza po prostu że wektory \(\displaystyle{ \alpha_1}\) i \(\displaystyle{ \alpha_2}\) są prostopadłe w formie \(\displaystyle{ f}\).
Czyli szukamy bazy prostopadłej tej formy:
Bierzemy jako \(\displaystyle{ \alpha_1=(1,0)}\)
\(\displaystyle{ \alpha_2=(b_1,b_2)}\) musi być prostopadły z \(\displaystyle{ \alpha_1}\) więc:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} b_1&b_2\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc} 3&-2\\-2&0\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{c} 1\\0\end{array} \right]=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ \alpha_2=(2,3)}\)
I teraz nasze przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi}\) ma przekształcać bazę \(\displaystyle{ st}\) na bazę \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\)
\(\displaystyle{ \varphi((1,0))=(1,0)}\)
\(\displaystyle{ \varphi((0,1))=(2,3)}\)
Czyli widać, że macierz \(\displaystyle{ P=M(\varphi)_{st}^{st}}\) to te wektory z \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) ustawione w kolumnach.
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} x_1&x_2\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc} 3&-2\\-2&0\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array} \right]=3x_1^2-4x_1x_2}\)
A jak podstawimy \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array} \right]=P \cdot \left[ \begin{array}{c} y_1\\y_2\end{array} \right]}\)
to mamy \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} y_1&y_2\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc} 3&0\\0&-18\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{c} y_1\\y_2\end{array} \right]=3y_1^2-18y_2^2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
sprowadzenie formy kwadratowej
To moje przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi}\) nie zachowuje iloczynu skalarnego, czyli nie jest ortogonalne.
Więc trzeba wziąć te \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2}\) tak żeby nie tylko były ze sobą prostopadłe w formie \(\displaystyle{ f}\) ale też były bazą ortonormalną w standardowym iloczynie skalarnym.
Czyli 3 warunki muszą spełniać (a nie 1...):
- na postać diagonalną - \(\displaystyle{ 1.f(\alpha_1,\alpha_2)=0}\)
- na bazę ortonormalną - \(\displaystyle{ \begin{cases} 2.<\alpha_1,\alpha_2>=0 \\ 3.||\alpha_1||=||\alpha_2||=1 \end{cases}}\)
Czyli jak jako \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2}\) weźmiemy unormowane wektory własne przekształcenia zadanego macierzą \(\displaystyle{ A}\) wtedy wszystko się zgodzi.
Więc trzeba wziąć te \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2}\) tak żeby nie tylko były ze sobą prostopadłe w formie \(\displaystyle{ f}\) ale też były bazą ortonormalną w standardowym iloczynie skalarnym.
Czyli 3 warunki muszą spełniać (a nie 1...):
- na postać diagonalną - \(\displaystyle{ 1.f(\alpha_1,\alpha_2)=0}\)
- na bazę ortonormalną - \(\displaystyle{ \begin{cases} 2.<\alpha_1,\alpha_2>=0 \\ 3.||\alpha_1||=||\alpha_2||=1 \end{cases}}\)
Czyli jak jako \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2}\) weźmiemy unormowane wektory własne przekształcenia zadanego macierzą \(\displaystyle{ A}\) wtedy wszystko się zgodzi.
Ukryta treść: