Jak znaleźć bazę tej przestrzeni ?

[Anxious]

Witam,

Mam problem z rozwiązaniem następującego zadania.
Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych:

\(\displaystyle{ V = \left\{ p \in R_{4}\left[ x\right] : p(2x) = 4xp'(x) + p(0) \right\}}\)

Moje rozwiązanie (niekompletne):
Rozpiszmy:

\(\displaystyle{ p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\)

\(\displaystyle{ p(2x) = 16ax&4 + 8bx^3 + 4cx^2 + 2dx + e}\)

\(\displaystyle{ 4xp'(x) = 4x (4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d) = 16ax^4 + 12bx^3 + 8cx^2 + 4dx}\)

\(\displaystyle{ p(0) = e}\)

Podstawiamy do równania: \(\displaystyle{ p(2x) = 4xp'(x) + p(0)}\)

\(\displaystyle{ 16ax&4 + 8bx^3 + 4cx^2 + 2dx + e = 16ax^4 + 12bx^3 + 8cx^2 + 4dx + e}\)

Po uproszczeniu: \(\displaystyle{ 2bx^3 + 2cx^2 + dx = 0 \Leftrightarrow dx = -2bx^3 - 2cx^2}\)

Podstawiam do \(\displaystyle{ p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + (-2bx^3 - 2cx^2) + e = ax^4 - bx^3 - cx^2 + e}\)

Czyli generatorami tej przestrzeni są wektory: \(\displaystyle{ p_1 = x^4; p_2 = -x^3; p_3 = -x^2 ; p_4 = 1}\)

I tutaj pojawia się mój problem, który może wynika z tego, że coś dotąd pomieszałem, a może z tego, że jestem nieoswojony z tematem, ale nie wiem jak określić które wektory są liniowo niezależne/będą tworzyć bazę.

Z góry dziękuje za wszelką pomoc

[Premislav]

Moim zdaniem jak już doszedłeś do tego:

\(\displaystyle{ 2bx^3 + 2cx^2 + dx = 0}\)

(do tego momentu na pewno jest dobrze), to stąd wynika, że musi być \(\displaystyle{ 2b=2c=d=0}\), bo chodzi o to, by ta równość zachodziła dla każdego \(\displaystyle{ x}\) (należy na to patrzyć jak na równość wielomianów).-- 28 sie 2016, o 16:07 --Zatem będzie to podprzestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ 2}\) i jej bazą będzie np.
\(\displaystyle{ ( 1,x^4)}\)

[Anxious]

Wciąż nie do końca rozumiem. Czy w takim razie, gdzieś dalej popełniłem błąd? Bo jeżeli odpowiednio zidentyfikowałem wektory to powinienem sprawdzić, czy jedynymi współczynnikami dla których p = 0 są zera.

Czyli dla takiego układu:

\(\displaystyle{ p(x) = ax^4 - bx^3 - cx^2 + e = 0}\)

Patrząc na to jako na równość wielomianową dostałbym równanie:

\(\displaystyle{ a = b = c = e = 0}\)

Bo musi być spełnione dla każdego "x". Ale gdzieś w tym rozumowaniu popełniam błąd - w którym miejscu?

[Kartezjusz]

Zobacz dla \(\displaystyle{ a=b=c=d=e=1}\) czy twój wektor pasuje. Zauważysz że popełniłeś błąd

[Anxious]

Zobacz dla \(\displaystyle{ a=b=c=d=e=1}\) czy twój wektor pasuje. Zauważysz że popełniłeś błąd

Z faktu iż popełniłem błąd, jak już wcześniej pisałem, zadaję sobie sprawę. Ale nie wiem w którym miejscu i w jaki sposób.

[Santiago A]

Pokazałeś, że w tej podprzestrzeni wszystkie wielomiany są postaci \(\displaystyle{ e - cx^2 -bx^3 + ax^4}\). Sprawdź jeszcze raz, ile wtedy wynosi \(\displaystyle{ p(2x) - 4x p'(x) -p(0)}\)... otóż \(\displaystyle{ 4cx^2 + 4bx^3}\), a nie zero!

[Kartezjusz]

Wyszedłeś poza przestrzeń wielomianów. w pewnym momencie. Premislaw wszystko wyjasnił.

[Anxious]

Dziękuje wszystkim za odpowiedzi. Będę do tego musiał wrócić później i jeszcze raz od początku na świeżo to rozwiązać.