Odwzorowanie liniowe

[Benny01]

Mam zbiór
\(\displaystyle{ U=\left\{ w \in R[x]_3:w(0)=w'''(x) \wedge 2(w'(x)-w'(0))=xw''(x) \right\}}\)
Baza w \(\displaystyle{ U}\) wyszła mi taka \(\displaystyle{ B=(x^3+6,x)}\).
Mam znaleźć odwzorowanie \(\displaystyle{ f:R[x]_3 \rightarrow R[x]_2}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x^3)=6x^2-12}\), \(\displaystyle{ f(x^2)=x+1}\) oraz \(\displaystyle{ Kerf=U}\).
I tak się zastanawiam czy coś źle policzyłem czy brakuje mi danych do wyznaczenia tego odwzorowania.

[AloneAngel]

Niech bazą w \(\displaystyle{ \RR_3[x]}\) będzie \(\displaystyle{ (x^3,x^2,x,1)}\).
Z tego co masz podane to wiesz, że
\(\displaystyle{ f(x^3) = 6x^2-12, \ f(x^2) = x+1, f(x^3+6)=0, f(x) = 0}\).
Spróbuj korzystając z tego i z liniowości \(\displaystyle{ f}\) policzyć ile to \(\displaystyle{ \ f(1)}\) (wykorzystując warunek \(\displaystyle{ f(x^3+6)=0}\)).
Wtedy dostaniesz, że szukane \(\displaystyle{ f(ax^3+bx^2+cx+d) = af(x^3)+bf(x^2)+cf(x)+df(1)}\)

[Benny01]

\(\displaystyle{ f(ax^3+bx^2+cx+d)=x^2(6a-d)+bx+b+2d-12a}\)
Tak to ma zostać z tymi parametrami?

[AloneAngel]

A jak byś chciał inaczej? Przecież wzór na \(\displaystyle{ f}\) musi chyba zależeć od tego jakie nasz argument (czyli ten wielomian) ma współczynniki, prawda? ^^

[Benny01]

No racja