Macierz odwzorowania liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Macierz odwzorowania liniowego

Post autor: Benny01 »

Niech \(\displaystyle{ A=M_f(B_1,B_2)= \begin{bmatrix} 3&0\\2&1\\1&-1\end{bmatrix}}\) będzie macierzą odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f:U \rightarrow V}\), a \(\displaystyle{ C=M_g(B_3,B_1)= \begin{bmatrix} 1&-1&1\\-1&1&-2\end{bmatrix}}\) macierzą odwzorowania \(\displaystyle{ g:V \rightarrow U}\).
Znajdź \(\displaystyle{ D=M_{f \circ g}(B_2,B_2)}\), jeżeli wiadomo, że\(\displaystyle{ B_1=(u_1, u_2)}\),\(\displaystyle{ B_2=(v_1, v_2, v_3)}\),\(\displaystyle{ B_3=(w_1,w_2,w_3)}\), gdzie
\(\displaystyle{ w_1=2v_2+v_3}\),\(\displaystyle{ w_2=-v_1}\),\(\displaystyle{ w_3=-v_2-v_3}\).
\(\displaystyle{ D=M_f(B_1,B_2)*M_g(B_2,B_1)?}\)
Pierwszy czynnik mam dany, ale co z \(\displaystyle{ B=M_g(B_2,B_1)?}\).
Ostatnio zmieniony 27 sie 2016, o 22:14 przez Benny01, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Macierz odwzorowania liniowego

Post autor: Poszukujaca »

Musisz znaleźć macierz \(\displaystyle{ M_{g} ( B_{2},B_{1}})}\), czyli macierz odwzorowania \(\displaystyle{ g}\) w bazach \(\displaystyle{ B_{2}, B_{1}}\). Jest to tego wzór z macierzami przejścia, znasz?
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Macierz odwzorowania liniowego

Post autor: Benny01 »

Znam tylko zastanawiam się jak znaleźć te dwie macierze przejścia.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Macierz odwzorowania liniowego

Post autor: Poszukujaca »

Mamy wzór \(\displaystyle{ M_{g}(B_{2},B_{1}) = P_{B_{1} \rightarrow B_{1}}^{-1} \cdot M_{g}(B_{3},B_{1}) \cdot P_{B_{3} \rightarrow B_{2}}}\).

Trzeba wykorzystać zależności pomiędzy wektorami, które masz podane. Z pierwszą macierzą przejścia problemu nie ma, bo jest to macierz jednostkowa. Zostaje nam druga.
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Macierz odwzorowania liniowego

Post autor: Benny01 »

Źle rozpisałem sobie bazy w tym wzorze i cały czas mi czegoś brakowało.
Drugą macierz przejścia znajdziemy łatwo. Wystarczy wyznaczyć \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\) za pomocą \(\displaystyle{ w_1,w_2,w_3}\)
\(\displaystyle{ P_{B_3 \rightarrow B_2}= \begin{bmatrix} 0&1&-1\\-1&0&0\\0&1&-2\end{bmatrix}}\)
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Macierz odwzorowania liniowego

Post autor: Poszukujaca »

Tak, dokładnie. Ale czy na pewno macierz wyznaczyłeś dobrze? Masz tam \(\displaystyle{ w_1=2v_2+w_3}\), więc druga kolumna to \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 0 \\ -\frac{1}{2} \end{array} \right]}\).
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Macierz odwzorowania liniowego

Post autor: Benny01 »

Tam jest błąd. Zapomniałem go poprawić.
\(\displaystyle{ w_1=2v_2+v_3}\)
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Macierz odwzorowania liniowego

Post autor: Poszukujaca »

OK. To teraz zostało Ci tylko mnożenie macierzy.
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Macierz odwzorowania liniowego

Post autor: Benny01 »

Dalej mam obliczyć \(\displaystyle{ f(g(-2w_2-w_3))}\) wykorzystując macierz \(\displaystyle{ D}\).
\(\displaystyle{ -2w_2-w_3=2v_1+v_2+v_3}\), więc \(\displaystyle{ f(g(-2w_2-w_3))=D* \begin{bmatrix} 2\\1\\1\end{bmatrix}}\)
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Macierz odwzorowania liniowego

Post autor: Poszukujaca »

Tak, bardzo dobrze.

Macierz złożenia tych odwzorowań będzie zadana w bazach \(\displaystyle{ B_{2}, B_{2}}\), dlatego szukamy współrzędnych podanego wektora w bazie \(\displaystyle{ B_{2}}\).
ODPOWIEDZ