podnoszenie macierzy do potegi n

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
marpus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 4 lut 2016, o 23:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 24 razy

podnoszenie macierzy do potegi n

Post autor: marpus »

Cześć, mam problem z podnoszeniem macierzy do wysokich potęg.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&0\\4&0&0\\5&3&1\end{array}\right]^{256}=}\)

Byłbym wdzięczny za rozwiązanie powyższego przykładu oraz wytłumaczenie co jest robione po kolei
Pozdrawiam, Marcin
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

podnoszenie macierzy do potegi n

Post autor: Premislav »

Zdiagonalizuj tę macierz, tj. przedstaw ją w postaci \(\displaystyle{ PDP^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest macierzą, która na przekątnej ma wartości własne Twojej wyjściowej macierzy, a poza przekątną same zera, zaś \(\displaystyle{ P}\) jest macierzą odwracalną \(\displaystyle{ 3\times 3}\), w której kolumnach są odpowiednie wartości własne macierzy z zadania.
Dla macierzy w takiej psotaci przez prostą indukcję można pokazać, że
\(\displaystyle{ (PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}}\),
a macierze diagonalne (tj. z zerami poza przekątną) się bardzo łatwo potęguje.

Całego rozwiązania (przynajmniej ode mnie) nie dostaniesz, napiszę dokładnie co trzeba zrobić:
1) wielomian charakterystyczny macierzy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&0\\4&0&0\\5&3&1\end{array}\right]}\)
to \(\displaystyle{ \det \left[\begin{array}{cccc}-x&1&0\\4&-x&0\\5&3&1-x\end{array}\right]=(1-x)(x^2-4)}\)
- zastosowałem rozwinięcie Laplace'a względem trzeciej kolumny.
Wylicz pierwiastki wielomianu charakterystycznego (to ąłtwe, np. twierdzenie o pierwiastkach wymiernych albo rozłóż ten drugi czynnik ze wzoru na różnicę kwadratów) - to są wartości własne macierzy z zadania.
2) Następnie należy znaleźć wektory własne odpowiadające wartościom własnym, tj.
rozwiązujesz trzy równania:
\(\displaystyle{ Av=x_1 \cdot v\\Au=x_2\cdot u\\Aw=x_3 \cdot w}\)
(z wektorami niewiadomych \(\displaystyle{ v=[v_1,v_2,v_3]^T}\) itd. - tak samo \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ w}\), macierzą \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cccc}0&1&0\\4&0&0\\5&3&1\end{array}\right]}\) i obliczonymi wcześniej wartościami własnymi \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\)).
Z otrzymanych wektorów tworzysz macierz \(\displaystyle{ P}\), wpisując je w kolumny (ustawiasz je w takiej kolejności, jak wartości własne na przekątnej macierzy diagonalnej \(\displaystyle{ D}\), tj. jeśli np.
wartość własna \(\displaystyle{ 1}\) będzie w pierwszej kolumnie \(\displaystyle{ D}\), tj. w lewym górnym rogu, dokładniej \(\displaystyle{ LHS}\) górnym, to odpowiadający tej wartości własnej wektor własny \(\displaystyle{ v}\) musi znaleźć się w pierwszej kolumnie macierzy \(\displaystyle{ P}\) itd.).

3) Odwracasz macierz \(\displaystyle{ P}\), np. "sklejając" ją z macierzą identyczności i wykonując na niej (i na sąsiedniej macierzy identyczności) operacje wierszowe tak, by doprowadzić \(\displaystyle{ P}\) do postaci macierzy identyczności (patrz eliminacja Gaussa).
Był też sposób z macierzą dopełnień, ale w nim trzeba było myśleć, więc już tego nie umiem. :lol:
4) macierz diagonalną \(\displaystyle{ D}\) potęguje się tak, że po prostu potęgujesz wyrazy na przekątnej, poza zostają same zera tak jak były.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

podnoszenie macierzy do potegi n

Post autor: kerajs »

Czasem wystarczy wykonać parę mnożeń i zauważyć jakąś prawidłowość (o ile taka istnieje).
Tu z macierzy \(\displaystyle{ A^2,A^4,A^8,A^{16}}\) można zauważyć że dla \(\displaystyle{ A^{256}}\) będzie:
\(\displaystyle{ a _{1,1}=a _{2,2}= 2^{256}\\
a _{1,2}=a _{1,3}=a _{2,1}=a _{2,3}=0 \\
a _{3,1}=17(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...( 2^{128}+1)\\
a _{3,2}= 8(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...( 2^{128}+1)\\
a _{3,3}=1}\)



Edit:
\(\displaystyle{ a _{3,1}=17(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...( 2^{128}+1)= \frac{17}{3}(2^{256}-1)\\
a _{3,2}= 8(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...( 2^{128}+1)= \frac{8}{3}(2^{256}-1)}\)
Ostatnio zmieniony 27 sie 2016, o 17:44 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
ODPOWIEDZ