równanie macierzowe

matematix · Post autor: **matematix** » 26 sie 2016, o 22:58

Interesują nas takie macierze kwadratowe \(\displaystyle{ A}\)(o wyrazach rzeczywistych) rozmiaru \(\displaystyle{ 3 \times 3}\), że \(\displaystyle{ A ^{2}=A}\). Rozstrzygnąć, ile jest takich macierzy.

macierz identycznościowa spełnia to równanie, poza tym należy szukać macierzy o zerowym wyznaczniku, ale jak?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 26 sie 2016, o 23:06

Hm, a jakby spojrzeć w ten sposób?

\(\displaystyle{ A^{2}-A=A(A-I)=0}\)

matematix · Post autor: **matematix** » 26 sie 2016, o 23:20

i co z tego wynika?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 26 sie 2016, o 23:21

No pomyśl z łaski swojej, nie jest to trudne

matematix · Post autor: **matematix** » 26 sie 2016, o 23:32

nie wiem, bo iloczyn macierzy niezerowych też moze byc równy 0

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 26 sie 2016, o 23:41

matematix pisze:nie wiem, bo iloczyn macierzy niezerowych też moze byc równy 0

Pokaż przykład

matematix · Post autor: **matematix** » 26 sie 2016, o 23:46

miodzio1988 pisze:
matematix pisze:nie wiem, bo iloczyn macierzy niezerowych też moze byc równy 0
Pokaż przykład

np. dla macierzy 2x2

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}0&0\\0&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 27 sie 2016, o 00:07

matematix pisze:
miodzio1988 pisze:
matematix pisze:nie wiem, bo iloczyn macierzy niezerowych też moze byc równy 0
Pokaż przykład
np. dla macierzy 2x2

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}0&0\\0&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)

No i ok, tak możemy zrobić w naszym zadaniu? Tak/nie dlaczego?

matematix · Post autor: **matematix** » 27 sie 2016, o 00:10

tak nie możemy, ale analogiczne przykłady można podać dla macierzy 3x3

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 27 sie 2016, o 00:13

matematix pisze:tak nie możemy, ale analogiczne przykłady można podać dla macierzy 3x3

Podaj zatem takie, które pasują do naszego zadania. Od razu będziesz wiedział co szukać

matematix · Post autor: **matematix** » 27 sie 2016, o 00:17

jest ich wiele... nie wiem jakie mam podać

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 27 sie 2016, o 08:56

Możesz oznaczyć macierz \(\displaystyle{ A = \left[
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right]}\) tak ogólnie. Wtedy mnożysz ją przez \(\displaystyle{ A-I= \left[ \begin{array}{cc} a-1 &b \\ c& d-1 \end{array} \right]}\).

matematix · Post autor: **matematix** » 27 sie 2016, o 08:59

w zadaniu chodzi o macierze 3x3 przecież

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 27 sie 2016, o 09:07

No dobrze, przoeczyłam ten fakt. To zrób to samo tylko z dodatkowym wymiarem.

matematix · Post autor: **matematix** » 27 sie 2016, o 09:08

czy przypadkiem zadanie się zbytnio nie skomplikuje? Wydaje mi się, że tak