potęga macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
matematix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 574
Rejestracja: 9 lip 2007, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 356 razy
Pomógł: 14 razy

potęga macierzy

Post autor: matematix »

Podać przykład takiej macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A}\)(o wyrazach rzczywistych) rozmiaru \(\displaystyle{ 6 x 6}\), że
\(\displaystyle{ A ^{6}}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}-1&0&0&0&0&0\\0&-1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1\end{array}\right]}\)

Ktoś ma jakiś pomysł na to zadanie?
miodzio1988

potęga macierzy

Post autor: miodzio1988 »

Masz

\(\displaystyle{ A^6=-I}\)

Wszystko na jedną stronę i skorzystaj z własności macierzy jednostkowej
karakuku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 60 razy

potęga macierzy

Post autor: karakuku »

Potraktujmy macierz \(\displaystyle{ A}\) jako macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\). Czyli \(\displaystyle{ A^6}\) to macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\) złożonego 6-cio krotnie.

Widzimy, że \(\displaystyle{ \varphi^6}\) ma być po prostu symetrią względem punktu \(\displaystyle{ (0,0,0,0,0,0)}\) czyli obrotem o kąt \(\displaystyle{ \pi}\).

Więc wynika z tego że \(\displaystyle{ \varphi}\) to po prostu obrót o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)

Wobec tego \(\displaystyle{ A=M(\varphi)_{st}^{st}=
\left[\begin{array}{cccccc}\cos \frac{\pi}{6} &-\sin \frac{\pi}{6} &0&0&0&0\\
\sin \frac{\pi}{6}&\cos \frac{\pi}{6} &0&0&0&0\\
0&0&\cos \frac{\pi}{6} &-\sin \frac{\pi}{6}&0&0\\
0&0&\sin \frac{\pi}{6}&\cos \frac{\pi}{6} &0&0\\
0&0&0&0&\cos \frac{\pi}{6} &-\sin \frac{\pi}{6} \\
0&0&0&0&\sin \frac{\pi}{6}&\cos \frac{\pi}{6} \end{array}\right]}\)
matematix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 574
Rejestracja: 9 lip 2007, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 356 razy
Pomógł: 14 razy

potęga macierzy

Post autor: matematix »

miodzio1988 pisze:Masz

\(\displaystyle{ A^6=-I}\)

Wszystko na jedną stronę i skorzystaj z własności macierzy jednostkowej

z jakiej własności?
ODPOWIEDZ