Podać przykład takiej macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A}\)(o wyrazach rzczywistych) rozmiaru \(\displaystyle{ 6 x 6}\), że
\(\displaystyle{ A ^{6}}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}-1&0&0&0&0&0\\0&-1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1\end{array}\right]}\)
Ktoś ma jakiś pomysł na to zadanie?
potęga macierzy
potęga macierzy
Masz
\(\displaystyle{ A^6=-I}\)
Wszystko na jedną stronę i skorzystaj z własności macierzy jednostkowej
\(\displaystyle{ A^6=-I}\)
Wszystko na jedną stronę i skorzystaj z własności macierzy jednostkowej
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
potęga macierzy
Potraktujmy macierz \(\displaystyle{ A}\) jako macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\). Czyli \(\displaystyle{ A^6}\) to macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\) złożonego 6-cio krotnie.
Widzimy, że \(\displaystyle{ \varphi^6}\) ma być po prostu symetrią względem punktu \(\displaystyle{ (0,0,0,0,0,0)}\) czyli obrotem o kąt \(\displaystyle{ \pi}\).
Więc wynika z tego że \(\displaystyle{ \varphi}\) to po prostu obrót o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)
Wobec tego \(\displaystyle{ A=M(\varphi)_{st}^{st}=
\left[\begin{array}{cccccc}\cos \frac{\pi}{6} &-\sin \frac{\pi}{6} &0&0&0&0\\
\sin \frac{\pi}{6}&\cos \frac{\pi}{6} &0&0&0&0\\
0&0&\cos \frac{\pi}{6} &-\sin \frac{\pi}{6}&0&0\\
0&0&\sin \frac{\pi}{6}&\cos \frac{\pi}{6} &0&0\\
0&0&0&0&\cos \frac{\pi}{6} &-\sin \frac{\pi}{6} \\
0&0&0&0&\sin \frac{\pi}{6}&\cos \frac{\pi}{6} \end{array}\right]}\)
Widzimy, że \(\displaystyle{ \varphi^6}\) ma być po prostu symetrią względem punktu \(\displaystyle{ (0,0,0,0,0,0)}\) czyli obrotem o kąt \(\displaystyle{ \pi}\).
Więc wynika z tego że \(\displaystyle{ \varphi}\) to po prostu obrót o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)
Wobec tego \(\displaystyle{ A=M(\varphi)_{st}^{st}=
\left[\begin{array}{cccccc}\cos \frac{\pi}{6} &-\sin \frac{\pi}{6} &0&0&0&0\\
\sin \frac{\pi}{6}&\cos \frac{\pi}{6} &0&0&0&0\\
0&0&\cos \frac{\pi}{6} &-\sin \frac{\pi}{6}&0&0\\
0&0&\sin \frac{\pi}{6}&\cos \frac{\pi}{6} &0&0\\
0&0&0&0&\cos \frac{\pi}{6} &-\sin \frac{\pi}{6} \\
0&0&0&0&\sin \frac{\pi}{6}&\cos \frac{\pi}{6} \end{array}\right]}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 574
- Rejestracja: 9 lip 2007, o 22:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 356 razy
- Pomógł: 14 razy
potęga macierzy
miodzio1988 pisze:Masz
\(\displaystyle{ A^6=-I}\)
Wszystko na jedną stronę i skorzystaj z własności macierzy jednostkowej
z jakiej własności?