\(\displaystyle{ 5x^2+2y^2+5z^2+4xy-2xz+4yz+4\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+\frac{2}{3}=0}\)
Podaj nowe współrzędne, w których równanie tej powierzchni ma postać kanoniczną. Naszkicuj tę powierzchnie w znalezionym układzie współrzędnych.
No więc, najpierw trzeba sprowadzić równanie do postaci kanonicznej.
Niech \(\displaystyle{ g(x,y,z) = 5x^2 + 2y^2 + 5z^2 +4xy - 2xz +4yz}\)
Wówczas macierz \(\displaystyle{ A}\) formy kwadratowej \(\displaystyle{ g}\), wygląda następująco :
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{matrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{matrix}\right]}\)
Potrzebujemy obliczyć wyznacznik :
Szukamy wektorów własnych.
Teraz musimy przeprowadzić ortogonalizację Grama Schmidta.
\(\displaystyle{ P_{B_k\rightarrow B_o} = \left[\begin{matrix}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{5\sqrt{3}}{3\sqrt{22}}\\0&\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{22}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{5\sqrt{3}}{3\sqrt{22}}\end{matrix}\right]}\)
Teraz mamy formę kwadratową w nowej bazie,
\(\displaystyle{ g(x',y',z')=6(y')^2+6(z')^2 +b_1x'+b_2y'+\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ [4\sqrt{2} \ 2\sqrt{2} \ 0 ] \cdot \left[\begin{matrix}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{5\sqrt{3}}{3\sqrt{22}}\\0&\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{22}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{5\sqrt{3}}{3\sqrt{22}}\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}\right] = -4x' + \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y' + \frac{12\sqrt{3}}{3\sqrt{11}}z'}\)
Zatem
\(\displaystyle{ g(x',y',z') = 6(y')^2+6(z')^2 -4x' + \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y' + \frac{12\sqrt{3}}{3\sqrt{11}}z' + \frac{2}{3} =6\left(y'+\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\right)^2 -1 +6\left(z'+\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{11}}\right)^2 -\frac{2}{11} + \frac{2}{3} - 4x'=0}\)
Tutaj mam problem, bo \(\displaystyle{ -4x'}\) się "nie schowa", ponieważ współczynnik przy \(\displaystyle{ (x')^2}\) jest równy zero..
Podejrzewam błąd przy ortogonalizacji, może gdybym spróbował to uprościć, to wyszłoby dobrze, z drugiej strony nie mam tyle czasu podczas egzaminu, aby kombinować przy ortogonalizacji z takimi liczbami.
Dalej już jest prosto..
\(\displaystyle{ P^{-1}=P^T}\)
a później \(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}\right] = P^T \cdot \left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]}\)
Proszę o pomoc