Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ x^2 + my^2 = nx}\)
\(\displaystyle{ y^2 + mz^2 = ny}\)
\(\displaystyle{ z^2 + mx^2 = nz}\)
dla n > 0 i m ≥ 1 .
układ równań
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x- \frac{n}{2} )^2+my^2=( \frac{n}{2} )^2 \\ (y- \frac{n}{2} )^2+mz^2=( \frac{n}{2} )^2\\(z- \frac{n}{2} )^2+mx^2=( \frac{n}{2} )^2 \end{cases}}\)
Przy podanych założeniach to trzy identyczne walce eliptyczne. Każdy z nich leży w innej czwórce oktantów więc rozwiązanie układu może być tylko w pierwszym oktancie.
Niech \(\displaystyle{ y=kx}\) to ze względu powtarzalne ułożenie dwóch walców względem siebie:
\(\displaystyle{ z=ky=k^2x \wedge x=kz=k^3x}\)
Ostatnie równanie jest prawdziwe tylko dla \(\displaystyle{ k=1}\) więc \(\displaystyle{ x=y=z}\)
Wstawiając to do dowolnego równania mam:
\(\displaystyle{ x^2+mx^2=nx\\
x(m+1)(x- \frac{n}{m+1})=0}\)
co daje dwa rozwiązania
\(\displaystyle{ x=y=z=0 \vee x=y=z= \frac{n}{m+1}}\)
Przy podanych założeniach to trzy identyczne walce eliptyczne. Każdy z nich leży w innej czwórce oktantów więc rozwiązanie układu może być tylko w pierwszym oktancie.
Niech \(\displaystyle{ y=kx}\) to ze względu powtarzalne ułożenie dwóch walców względem siebie:
\(\displaystyle{ z=ky=k^2x \wedge x=kz=k^3x}\)
Ostatnie równanie jest prawdziwe tylko dla \(\displaystyle{ k=1}\) więc \(\displaystyle{ x=y=z}\)
Wstawiając to do dowolnego równania mam:
\(\displaystyle{ x^2+mx^2=nx\\
x(m+1)(x- \frac{n}{m+1})=0}\)
co daje dwa rozwiązania
\(\displaystyle{ x=y=z=0 \vee x=y=z= \frac{n}{m+1}}\)