podprzestrzeń przestrzeni

[blade]

Witam, nie jestem pewien co do tego czy dobrze rozumiem zapis..
Zatem :

Czy zbiór \(\displaystyle{ A=\{w \in \RR[x] : w(1)w''(0) = 0\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \RR[x]}\)?

\(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \RR, u,v \in \RR[x]}\) takie, że :
\(\displaystyle{ u=a_nx^n+...+a_1x+a_0, v=b_mx^m +...+b_1x+b_0}\) dla \(\displaystyle{ n,m\in \NN, a_i,b_j \in \RR, i=1,...,n \wedge j=1,...m}\)

takie, że \(\displaystyle{ u(1)u''(0)=0 \wedge v(1)v''(0)=0}\).

Coś mi się wydaje, że \(\displaystyle{ A}\) nie będzie podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR[x]}\) dlatego szukam kontrprzykładu (tutaj akurat ?miałem? fart, bo rzeczywiście znalazłem kontrprzykład, ale co zrobić jeśli kontrprzykładu nie znajdę, jak tutaj sprawdzać warunki?)

Więc :
Niech \(\displaystyle{ u(x)=x^2 +x -2}\)
\(\displaystyle{ u(1) = 1+1-2 = 0}\)
\(\displaystyle{ u''(x)= (2x+1)'=2 \rightarrow u''(0)=2}\) *to tutaj mam wątpliwości czy dobrze rozumiem zapis - najpierw wstawiam \(\displaystyle{ x=0}\), a później biorę drugą pochodną, czy najpierw druga pochodna i dopiero \(\displaystyle{ x=0}\) (tak jak zrobiłem wyżej)?

i niech \(\displaystyle{ v(x)=-x}\)
wtedy \(\displaystyle{ v(1) =-1}\)
\(\displaystyle{ v''(x)=0}\)
Stąd \(\displaystyle{ u,v\in A}\) bo spełniaja warunki zbioru.
Ale :
\(\displaystyle{ u+v=x^2+x-2-x=x^2-2=z}\)
\(\displaystyle{ z(1)=1-2=-1}\)
\(\displaystyle{ z''(x)=(2x)'=2}\)
Stąd : \(\displaystyle{ z(1)\cdot z''(0) \neq 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ A}\) nie jest podprzestrzenią.

Proszę o pomoc

[AloneAngel]

410332.htm

[blade]

Dzięki za odpowiedź, czyli dobrze myślałem, ale mimo wszystko mam pytanie.

Czyli mam \(\displaystyle{ ( \alpha w(1)+ \beta p(1)) \cdot ( \alpha w''(0)+ \beta p''(0))= \alpha \beta [w(1)p''(0)+w''(0)p(1)]}\)

W mnożeniu skorzystałem z tego, że \(\displaystyle{ w(1)w''(0)=0}\), ale co dalej z tym wyżej? Nie jest podprzestrzenią, bo nie jest równe 0?

Skąd pewność, że to nie zawsze jest równe zeru?
W sensie, skąd myśl, żeby szukać kontrprzykładu?

[AloneAngel]

Jedyne co wiemy to to, że \(\displaystyle{ w(1) w''(0) = 0}\) i \(\displaystyle{ p(1) p''(0) = 0}\).
Czy to zawsze musi implikować, że \(\displaystyle{ w(1) p''(0) + w''(0) p(1) = 0}\)?
No właśnie nie, bo gdyby się okazało, że \(\displaystyle{ w(1), p''(0) = 0}\) a \(\displaystyle{ w''(0), p(1) \neq 0}\) to wówczas te funkcje nadal należą do naszego zbioru, ale \(\displaystyle{ w(1) p''(0) + w''(0) p(1)}\) już nie.
Więc trzeba skonstruować taki przykład aby zachodziły te warunki.

[blade]

Ok, dzięki za pomoc.