układ równań z parametrami

[blade]

Określ, w zależności od \(\displaystyle{ p,k \in \RR}\) rząd macierzy uzupełnionej układu rówńań
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x_1+2x_2=2\\2x_1+2x_2 = p \\ -2x_1-3x_2 +px_3=k \\ -4x_1-x_2-3x_3=-2\end{cases}}\)

Od razu zacznę od tej części zadania, zanim przejdę do kolejnej.
\(\displaystyle{ U=\left[ \begin{matrix}2&2&0&2\\2&2&0&p\\-2&-3&p&k\\-4&-1&-3&-2\end{matrix}\right] \sim \left[ \begin{matrix}2&2&0&2\\0&0&0&p-2\\0&-1&p&k+2\\0&3&-3&2\end{matrix}\right] \sim \left[\begin{matrix}2&2&0&2\\0&-1&p&k+2\\0&3&-3&2\\0&0&0&p-2\end{matrix}\right] \sim \left[ \begin{matrix}2&2&0&2\\0&-1&p&k+2\\0&0&-3+3p&3k+8\\0&0&0&p-2\end{matrix}\right]}\)

Rząd w zależności od \(\displaystyle{ p,k}\) :
1. \(\displaystyle{ p=2 \rightarrow r(U) = 3}\)
2. \(\displaystyle{ p=1, k=-8/3 \rightarrow r(U)=3}\)
3. \(\displaystyle{ p\notin \{2,1\}, k\in \RR \rightarrow r(U)=4}\)

Więcej możliwości chyba nie widzę?

Wykorzystując tę wiedzę zbadaj liczbę rozwiązań układu w zależności od \(\displaystyle{ p,k}\). W przypadku gdy układ jest oznaczony, wyznacz rozwiązanie stosując wzory Cramera.

Zatem przyda nam się rząd macierzy
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{matrix}2&2&0\\0&-1&p\\0&0&-3+3p\\0&0&0\end{matrix}\right] \sim \left[\begin{matrix}2&2&0\\0&-1&p\\0&0&-3+3p\end{matrix}\right]}\)

Teraz wystarczy porównać rząd, dla powyższych parametrów, danych macierzy.

\(\displaystyle{ p=2 \rightarrow r(A)=3 = r(U)=n}\) - oznaczony.
\(\displaystyle{ p=1 \rightarrow r(A)=2 \neq r(U)}\) - sprzeczność.
\(\displaystyle{ p\neq 1,2 \rightarrow r(A)=3\neq r(U)}\) - sprzeczność.

Czy do tej pory jest dobrze..?

Rozważamy \(\displaystyle{ p=2}\)

\(\displaystyle{ U=\left[\begin{matrix}2&2&0&2\\0&-1&2&k+2\\0&0&3&3k+8\end{matrix}\right]}\)

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{matrix}2&2&0\\0&-1&2\\0&0&3\end{matrix}\right]}\)

\(\displaystyle{ det A = -6}\)
\(\displaystyle{ det A_x= det \left[\begin{matrix}2&2&0\\k+2&-1&2\\3k+8&0&3\end{matrix}\right]}\)
itd..
Wynik mnie nie interesuje, na końcu będzie: \(\displaystyle{ \begin{cases}x=\frac{det A_x}{det A} \\... \\...\end{cases}}\)

Czy to jest poprawne? (nie jestem pewien co do rzędu U w zależnośći od parametrów).

Z góry dzięki za pomoc.

-- 24 sie 2016, o 18:20 --

PS: Do zadania jest jeszcze treść :
Uzasadnij dla jakich wartości \(\displaystyle{ p}\)
\(\displaystyle{ lin \{(2,2-2,-4), (2,2,-3,-1),(0,0,p,-3)\} = lin\{(2,2-2,-4), (2,2,-3,-1),(0,0,p,-3),(2,p,-2,-2)\}}\)

Wtedy gdy wektory z powłoki liniowej po lewej stronie będą liniowo zależne z wektorem \(\displaystyle{ (2,p,-2,-2)}\) ?

Czyli wtedy, kiedy możemy wygenerować go za pomocą pozostałych, gdy spojrzymy na układ to widzimy, że kolumny kolejno są tymi pozostałymi wektorami, a kolumna po znaku równości, jest wektorem \(\displaystyle{ (2,p,-2,-2)}\) gdy weźmiemy \(\displaystyle{ k=-2}\), więc dla \(\displaystyle{ p=2}\) bo w innych przypadkach rozwiązanie jest sprzeczne, czyli nie wygenerujemy tego wektora.
Zgadza się?

[Poszukujaca]

Według mnie w przypadku, kiedy \(\displaystyle{ p =1}\) rząd macierzy uzupełnionej zawsze będzie równy trzy, niezależnie od parametru k, więc nie rozumiem dlaczego napsiałeś tam \(\displaystyle{ k \neq -\frac{8}{3}}\). Więcej błędów nie widzę. Twierdzenie Kroneckera-Capellego zastosowałeś dobrze

[blade]

Dzięki za odpowiedź.
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 2&2&0&2\\0&-1&1&k+2\\0&0&0&3k+8\\0&0&0&-1\end{matrix}\right]}\)
Ok teraz widzę, że mogę za pomocą ostatniego wiersza wyeliminować trzeci wiersz, nie wziąłem tego wcześniej pod uwagę i założyłem, że \(\displaystyle{ 3k+8}\) musi się wyzerować, bo sobie nie rozpisałem tego dla \(\displaystyle{ p=1}\).
A co do drugiej części zadania, z powłoką liniowa, dobrze jest?

[Poszukujaca]

Warto zadać sobie pytanie, kiedy dwie powłoki liniowe są równe. Dzieje się tak, gdyż każdy wektor jednej powłoki można zapisać za pomocą liniowej kombinacji wektorów drugiej powłoki. I na odwrót. To oznacza liniową zależność. Oczywiście gdy wektory w obu powłokach powtarzają się, to sprawa jest trywialna.

Mamy sprawdzić, czy \(\displaystyle{ (2,p, -2,-2) \subset lin \left\{ (2,2,-2,-4), (2,2,-3,-1), (0,0,p, -3) \right\}}\), czyli czy istnieją takie skalary \(\displaystyle{ a,b,c}\), że \(\displaystyle{ (2,p , -2,-2)= a(2,2,-2,-4)+b(2,2,-3,-1)+c(0,0,p ,-3)}\) w zależności od parametru p. Nie bardzo wiem, jak powiązać to z wyliczonym wcześniej rzędem macierzy, więc nie wim, czy masz rację. Ja próbowałabym badać liniową zależność w ten sposób.

[blade]

No tak, to jest trochę na około.
Dzięki za odpowiedź