Dlaczego te zbiory nie są podprzestrzenią?
-
- Użytkownik
- Posty: 191
- Rejestracja: 27 paź 2012, o 14:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
Dlaczego te zbiory nie są podprzestrzenią?
Witam,
Robiłem przed chwilą zadanie w którym trzeba stwierdzić, czy podzbiór jest podprzestrzenią i nie do końca rozumiem 2 podpunkty.
Korzystając z definicji zbadać, czy podane zbiory W są podprzestrzeniami przestrzeni liniowych V:
1. \(\displaystyle{ V = R\left[ x\right] , W -}\) zbiór wszystkich wielomianów stopnia parzystego.
2. \(\displaystyle{ V = M_{4 \times 4} , W = \left\{ A \in M_{4 \times 4} : det A = 0 \right\}}\)
W podpunkcie 2 wydaje mi się, że nie jest to podprzestrzeń liniowa, dlatego że można wziąć dwie macierze, które należą do W, ale macierz, która powstaje po zsumowaniu niekoniecznie będzie mieć wyznacznik równy 0, przez co nie nie zawiera się w W i nie spełnia definicji podprzestrzeni, ale nie jestem pewien tego rozumowania.
W podpunkcie 1 wydaje mi się, że mnożenie przez skalar nie zmieni stopnia wielomianu, ale nie potrafię też znaleźć przykładu dodawania dwóch wielomianów stopnia parzystego, który miałby dać wielomian stopnia nieparzystego, dlatego wydawało mi się, że jest to podprzestrzeń, ale skoro odpowiedź twierdzi inaczej to pewnie czegoś nie widzę.
Z góry dziękuje za pomoc
Robiłem przed chwilą zadanie w którym trzeba stwierdzić, czy podzbiór jest podprzestrzenią i nie do końca rozumiem 2 podpunkty.
Korzystając z definicji zbadać, czy podane zbiory W są podprzestrzeniami przestrzeni liniowych V:
1. \(\displaystyle{ V = R\left[ x\right] , W -}\) zbiór wszystkich wielomianów stopnia parzystego.
2. \(\displaystyle{ V = M_{4 \times 4} , W = \left\{ A \in M_{4 \times 4} : det A = 0 \right\}}\)
W podpunkcie 2 wydaje mi się, że nie jest to podprzestrzeń liniowa, dlatego że można wziąć dwie macierze, które należą do W, ale macierz, która powstaje po zsumowaniu niekoniecznie będzie mieć wyznacznik równy 0, przez co nie nie zawiera się w W i nie spełnia definicji podprzestrzeni, ale nie jestem pewien tego rozumowania.
W podpunkcie 1 wydaje mi się, że mnożenie przez skalar nie zmieni stopnia wielomianu, ale nie potrafię też znaleźć przykładu dodawania dwóch wielomianów stopnia parzystego, który miałby dać wielomian stopnia nieparzystego, dlatego wydawało mi się, że jest to podprzestrzeń, ale skoro odpowiedź twierdzi inaczej to pewnie czegoś nie widzę.
Z góry dziękuje za pomoc
-
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Dlaczego te zbiory nie są podprzestrzenią?
Masz rację np.Anxious pisze:W podpunkcie 2 wydaje mi się, że nie jest to podprzestrzeń liniowa, dlatego że można wziąć dwie macierze, które należą do W, ale macierz, która powstaje po zsumowaniu niekoniecznie będzie mieć wyznacznik równy 0, przez co nie nie zawiera się w W i nie spełnia definicji podprzestrzeni, ale nie jestem pewien tego rozumowania.
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 24 sie 2016, o 13:34 przez squared, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 191
- Rejestracja: 27 paź 2012, o 14:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
Dlaczego te zbiory nie są podprzestrzenią?
Do podpunktu drugiego w krótkim czasie nie potrafiłbym raczej znaleźć dwóch macierzy o wyznacznikach zero, ale w takim zmniejszonym modelu \(\displaystyle{ 3 \times 3}\):
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}3&-1&1\\5&1&4\\-1&3&2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B = \left[\begin{array}{ccc}1&-3&2\\3&-4&1\\-1&-2&3\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ C = A + B = \left[\begin{array}{ccc}4&-4&3\\8&-3&5\\-2&1&5\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ det A = 0; det B = 0; det C = 106}\)
Wciąż nie jest to formalne rozwiązanie, ale przynajmniej jestem przekonany, że nie jest podprzestrzeń, co też potwierdza odpowiedź.
Za to w podpunkcie pierwszym według odpowiedzi nie jest to podprzestrzeń, a z dotychczasowego rozumowania wynikało by inaczej?
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}3&-1&1\\5&1&4\\-1&3&2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B = \left[\begin{array}{ccc}1&-3&2\\3&-4&1\\-1&-2&3\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ C = A + B = \left[\begin{array}{ccc}4&-4&3\\8&-3&5\\-2&1&5\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ det A = 0; det B = 0; det C = 106}\)
Wciąż nie jest to formalne rozwiązanie, ale przynajmniej jestem przekonany, że nie jest podprzestrzeń, co też potwierdza odpowiedź.
Za to w podpunkcie pierwszym według odpowiedzi nie jest to podprzestrzeń, a z dotychczasowego rozumowania wynikało by inaczej?
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
Dlaczego te zbiory nie są podprzestrzenią?
\(\displaystyle{ A(x)=x^2+x+1}\) - wielomian stopnia parzystego
\(\displaystyle{ B(x)=-x^2+x+1}\) - wielomian stopnia parzystego
\(\displaystyle{ A(x)+B(x)=2x+2}\) - wielomian stopnia nieparzystego
\(\displaystyle{ B(x)=-x^2+x+1}\) - wielomian stopnia parzystego
\(\displaystyle{ A(x)+B(x)=2x+2}\) - wielomian stopnia nieparzystego
-
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Dlaczego te zbiory nie są podprzestrzenią?
Przepraszam, bo edytowałem sobie post. Podałem przykład macierzy \(\displaystyle{ 4x4}\), które nie spełniają zadanego warunku. Zatem formalnie podałem Ci kontrprzykład.
\(\displaystyle{ A=\(\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)\)\\
B= \(\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\) \\
A+B = \(\left(
\begin{array}{cccc}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)}\)
A podpunktem pierwszym "poleciałem"... zamiast stopnia parzystego zrobiłem o współczynnikach przy parzystych potęgach. Przepraszam.
\(\displaystyle{ A=\(\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)\)\\
B= \(\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\) \\
A+B = \(\left(
\begin{array}{cccc}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)}\)
A podpunktem pierwszym "poleciałem"... zamiast stopnia parzystego zrobiłem o współczynnikach przy parzystych potęgach. Przepraszam.
-
- Użytkownik
- Posty: 191
- Rejestracja: 27 paź 2012, o 14:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
Dlaczego te zbiory nie są podprzestrzenią?
Dziękuje, tego potrzebowałem.karakuku pisze:\(\displaystyle{ A(x)=x^2+x+1}\) - wielomian stopnia parzystego
\(\displaystyle{ B(x)=-x^2+x+1}\) - wielomian stopnia parzystego
\(\displaystyle{ A(x)+B(x)=2x+2}\) - wielomian stopnia nieparzystego
Które własności? Macierze mam jeszcze przed sobą i o ile wiem, jak się liczy wyznaczniki, to o ich własnościach wiem niewiele.-- 24 sie 2016, o 12:43 --blade pisze:Co do punktu drugiego bardzo łatwo znaleźć rozwiązanie powołując się na własności wyznacznika.
Dziękuje za kontrprzykład. Metoda jest bardzo praktyczna.squared pisze:Przepraszam, bo edytowałem sobie post. Podałem przykład macierzy \(\displaystyle{ 4x4}\), które nie spełniają zadanego warunku. Zatem formalnie podałem Ci kontrprzykład.
\(\displaystyle{ A=\(\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)\)\\
B= \(\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\) \\
A+B = \(\left(
\begin{array}{cccc}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)}\)
A podpunktem pierwszym "poleciałem"... zamiast stopnia parzystego zrobiłem o współczynnikach przy parzystych potęgach. Przepraszam.
-
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 586 razy
- Pomógł: 16 razy
Dlaczego te zbiory nie są podprzestrzenią?
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wyznacznik#W.C5.82asno.C5.9Bci