Dlaczego te zbiory nie są podprzestrzenią?

[Anxious]

Witam,

Robiłem przed chwilą zadanie w którym trzeba stwierdzić, czy podzbiór jest podprzestrzenią i nie do końca rozumiem 2 podpunkty.

Korzystając z definicji zbadać, czy podane zbiory W są podprzestrzeniami przestrzeni liniowych V:

1. \(\displaystyle{ V = R\left[ x\right] , W -}\) zbiór wszystkich wielomianów stopnia parzystego.
2. \(\displaystyle{ V = M_{4 \times 4} , W = \left\{ A \in M_{4 \times 4} : det A = 0 \right\}}\)

W podpunkcie 2 wydaje mi się, że nie jest to podprzestrzeń liniowa, dlatego że można wziąć dwie macierze, które należą do W, ale macierz, która powstaje po zsumowaniu niekoniecznie będzie mieć wyznacznik równy 0, przez co nie nie zawiera się w W i nie spełnia definicji podprzestrzeni, ale nie jestem pewien tego rozumowania.

W podpunkcie 1 wydaje mi się, że mnożenie przez skalar nie zmieni stopnia wielomianu, ale nie potrafię też znaleźć przykładu dodawania dwóch wielomianów stopnia parzystego, który miałby dać wielomian stopnia nieparzystego, dlatego wydawało mi się, że jest to podprzestrzeń, ale skoro odpowiedź twierdzi inaczej to pewnie czegoś nie widzę.

Z góry dziękuje za pomoc

[squared]

W podpunkcie 2 wydaje mi się, że nie jest to podprzestrzeń liniowa, dlatego że można wziąć dwie macierze, które należą do W, ale macierz, która powstaje po zsumowaniu niekoniecznie będzie mieć wyznacznik równy 0, przez co nie nie zawiera się w W i nie spełnia definicji podprzestrzeni, ale nie jestem pewien tego rozumowania.

Masz rację np.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ A=\(\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)\)\\

B= \(\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\) \\


A+B = \(\left(
\begin{array}{cccc}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)}\)

[Anxious]

Do podpunktu drugiego w krótkim czasie nie potrafiłbym raczej znaleźć dwóch macierzy o wyznacznikach zero, ale w takim zmniejszonym modelu \(\displaystyle{ 3 \times 3}\):

\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}3&-1&1\\5&1&4\\-1&3&2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ B = \left[\begin{array}{ccc}1&-3&2\\3&-4&1\\-1&-2&3\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ C = A + B = \left[\begin{array}{ccc}4&-4&3\\8&-3&5\\-2&1&5\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ det A = 0; det B = 0; det C = 106}\)

Wciąż nie jest to formalne rozwiązanie, ale przynajmniej jestem przekonany, że nie jest podprzestrzeń, co też potwierdza odpowiedź.

Za to w podpunkcie pierwszym według odpowiedzi nie jest to podprzestrzeń, a z dotychczasowego rozumowania wynikało by inaczej?

[karakuku]

\(\displaystyle{ A(x)=x^2+x+1}\) - wielomian stopnia parzystego
\(\displaystyle{ B(x)=-x^2+x+1}\) - wielomian stopnia parzystego

\(\displaystyle{ A(x)+B(x)=2x+2}\) - wielomian stopnia nieparzystego

[blade]

Co do punktu drugiego bardzo łatwo znaleźć rozwiązanie powołując się na własności wyznacznika.

[squared]

Przepraszam, bo edytowałem sobie post. Podałem przykład macierzy \(\displaystyle{ 4x4}\), które nie spełniają zadanego warunku. Zatem formalnie podałem Ci kontrprzykład.

\(\displaystyle{ A=\(\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)\)\\

B= \(\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\) \\


A+B = \(\left(
\begin{array}{cccc}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)}\)

A podpunktem pierwszym "poleciałem"... zamiast stopnia parzystego zrobiłem o współczynnikach przy parzystych potęgach. Przepraszam.

[Anxious]

\(\displaystyle{ A(x)=x^2+x+1}\) - wielomian stopnia parzystego
\(\displaystyle{ B(x)=-x^2+x+1}\) - wielomian stopnia parzystego

\(\displaystyle{ A(x)+B(x)=2x+2}\) - wielomian stopnia nieparzystego

Dziękuje, tego potrzebowałem.

Co do punktu drugiego bardzo łatwo znaleźć rozwiązanie powołując się na własności wyznacznika.

Które własności? Macierze mam jeszcze przed sobą i o ile wiem, jak się liczy wyznaczniki, to o ich własnościach wiem niewiele.-- 24 sie 2016, o 12:43 --

Przepraszam, bo edytowałem sobie post. Podałem przykład macierzy \(\displaystyle{ 4x4}\), które nie spełniają zadanego warunku. Zatem formalnie podałem Ci kontrprzykład.

\(\displaystyle{ A=\(\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)\)\\

B= \(\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\) \\


A+B = \(\left(
\begin{array}{cccc}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)}\)

A podpunktem pierwszym "poleciałem"... zamiast stopnia parzystego zrobiłem o współczynnikach przy parzystych potęgach. Przepraszam.

Dziękuje za kontrprzykład. Metoda jest bardzo praktyczna.

[blade]

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wyznacznik#W.C5.82asno.C5.9Bci

powinno być wszystko czego potrzebujesz