Krzywa stopnia drugiego 3

[max123321]

Dane jest równanie normalne krzywej stopnia drugiego we współrzędnych kartezjańskich.
\(\displaystyle{ 3x ^{2}+2xy+3y ^{2}-2 \sqrt{2}x+2 \sqrt{2}y+1=0}\)

Określić rodzaj krzywej badając minory główne.

Jakie to mogą być rodzaje krzywych w zależności od tych minorów?

[karakuku]

To można patrzeć po równaniach kanonicznych np:

hiperbola:\(\displaystyle{ x^2-y^2+1=0}\) czyli \(\displaystyle{ det \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right]=-1<0}\)

parabola:\(\displaystyle{ x^2+y+1=0}\) czyli \(\displaystyle{ det \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right]=0}\)

elipsa:\(\displaystyle{ -x^2-y^2+1=0}\) czyli \(\displaystyle{ det \left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&-1\end{array}\right]=1>0}\)

itd.

Tutaj mamy \(\displaystyle{ det \left[\begin{array}{cc}3&1\\1&3\end{array}\right]=8>0}\) czyli elipsa.

[max123321]

A skąd bierzesz te macierze? To z tej części która jest w kwadratach?

[karakuku]

Tak. To jest macierz formy kwadratowej, która jest częścią tego równania.
Tylko te wyznaczniki dotyczą krzywych niezdegenerowanych.

A korygując odpowiedź na Twoje poprzednie pytanie to czy krzywa jest niezdegenerowana zależy czy istnieje wektor niezerowy przechodzący na 0. Można badać przez \(\displaystyle{ det\left[ \begin{array}{ccc}3&1&- \sqrt{2}\\1&3& \sqrt{2}\\- \sqrt{2}& \sqrt{2}&1\end{array} \right]}\). Jeśli \(\displaystyle{ det=0}\) to jest zdegenerowana.

Ale można też szybko znaleźć kanoniczne równanie krzywej tego typu:

znajdujemy bazę prostopadłą formy kwadratowej z tego równania. Czyli \(\displaystyle{ 3x ^{2}+2xy+3y ^{2}}\). Będzie to: \(\displaystyle{ (1,0),(1,-3)}\)
i podstawiamy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array} \right]=\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&-3\end{array} \right] \cdot \left[\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}x&y\end{array}\right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc}3&1\\1&3\end{array}\right] \cdot
\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array} \right]+
\left[\begin{array}{cc}-2 \sqrt{2}&2 \sqrt{2}\end{array} \right] \cdot
\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array} \right]+1=}\)

\(\displaystyle{ =\left[ \begin{array}{cc}x_1&y_1\end{array}\right] \cdot
\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&-3\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc}3&1\\1&3\end{array}\right] \cdot
\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&-3\end{array} \right] \cdot \left[\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array} \right]+
\left[\begin{array}{cc}-2 \sqrt{2}&2 \sqrt{2}\end{array} \right] \cdot
\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&-3\end{array} \right] \cdot \left[\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array} \right]+1=}\)

\(\displaystyle{ =\left[ \begin{array}{cc}x_1&y_1\end{array}\right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc}3&0\\0&24\end{array}\right] \cdot
\left[\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array} \right]+
\left[\begin{array}{cc}-2 \sqrt{2}&-8 \sqrt{2}\end{array} \right] \cdot
\left[\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array} \right]+1}\)

W tej bazie \(\displaystyle{ (1,0),(3,-1)}\) ta krzywa ma równanie:

\(\displaystyle{ 3x_1^2+24y_1^2-2 \sqrt{2}x_1-8\sqrt{2} y_1+1=0}\)

\(\displaystyle{ 3(x_1- \frac{\sqrt{2}}{3} )^2 +24(y_1 - \frac{\sqrt{2}}{6})^2- \frac{2}{3} - \frac{4}{3}+1=0}\)

\(\displaystyle{ x_2=x_1- \frac{\sqrt{2}}{3}}\), \(\displaystyle{ y_2=y_1 - \frac{\sqrt{2}}{6}}\)

\(\displaystyle{ 3(x_2)^2 +24(y_2)^2-1=0}\)
\(\displaystyle{ -3(x_2)^2 -24(y_2)^2+1=0}\)

\(\displaystyle{ x_3=\frac{x_2}{\sqrt{3}}}\), \(\displaystyle{ y_3=\frac{y_2}{\sqrt{24}}}\)

\(\displaystyle{ -(x_3)^2 -(y_3)^2+1=0}\) - krzywa niezdegenerowana - elipsa

[max123321]

Ale można też szybko znaleźć kanoniczne równanie krzywej tego typu:

znajdujemy bazę prostopadłą formy kwadratowej z tego równania. Czyli \(\displaystyle{ 3x ^{2}+2xy+3y ^{2}}\). Będzie to: \(\displaystyle{ (1,0),(1,-3)}\)

Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ (1,0),(1,-3)}\)?


A co do tych krzywych to czy wystarczy sprawdzić wyznacznik główny macierzy, żeby sprawdzić jakiego typu jest krzywa? Czyli jeśli większy od zera to hiperbola, mniejszy to elipsa, równy zero zdegenerowana?

[karakuku]

Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ (1,0),(1,-3)}\)?

Bo \(\displaystyle{ (1,0),(1,-3)}\) są prostopadłe w tej formie tzn.:

\(\displaystyle{ left[ egin{array}{cc}1&0end{array}
ight] cdot
left[ egin{array}{cc}3&1\1&3end{array}
ight] cdot
left[egin{array}{c}1\-3end{array}
ight]=0}\)

Wyznacznik tej większej macierzy jeśli jest zero to jest zdegenerowana, jeśli nie jest to możemy zbadać typ powierzchni tą mniejszą macierzą.
Tu jest to dokładnie opisane:
... a2-w12.pdf
lub
297000.htm - 6 post w skrócie wszystko ładnie tłumaczy