Forma kwadratowa 4
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Forma kwadratowa 4
Dane jest wyrażenie określające wartość formy kwadratowej.
\(\displaystyle{ F\left( \left( x,y,z\right) \right)=-x ^{2}+4xy+2y ^{2}+2yz+z ^{2}}\)
Podać postać diagonalną \(\displaystyle{ A'}\) macierzy formy kwadratowej, określić jej sygnaturę.
No to jak rozumiem można metodą Lagrange doprowadzić do postaci diagonalnej?
Wyszło mi
\(\displaystyle{ A'=\left[ \begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&6&0\\0&0& \frac{5}{6}\end{array} \right]}\)
Dobrze?
A sygnatura to ilość dodatnich i ujemnych elementów na przekątnej? Czyli tu to byłoby \(\displaystyle{ \left( 2,1\right)}\)?
\(\displaystyle{ F\left( \left( x,y,z\right) \right)=-x ^{2}+4xy+2y ^{2}+2yz+z ^{2}}\)
Podać postać diagonalną \(\displaystyle{ A'}\) macierzy formy kwadratowej, określić jej sygnaturę.
No to jak rozumiem można metodą Lagrange doprowadzić do postaci diagonalnej?
Wyszło mi
\(\displaystyle{ A'=\left[ \begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&6&0\\0&0& \frac{5}{6}\end{array} \right]}\)
Dobrze?
A sygnatura to ilość dodatnich i ujemnych elementów na przekątnej? Czyli tu to byłoby \(\displaystyle{ \left( 2,1\right)}\)?
- Peter Zof
- Użytkownik
- Posty: 585
- Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 66 razy
Forma kwadratowa 4
Mogę się mylić, ale wyszło mi troszeczkę inaczej. W każdym razie możesz jeszcze spróbować diagonalizaować macierz.
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Forma kwadratowa 4
Nie za bardzo rozumiem. Z tego co wiem to forma ma postać diagonalną w bazie wektorów własnych. Ale tutaj to nie wiem za bardzo o co chodzi. Może o tą postać chodzi:
\(\displaystyle{ F=-\left( x ^{2}-2y \right) ^{2} +6\left( y ^{2}+ \frac{1}{6}z \right) ^{2} + \frac{5}{6}z ^{2}}\)
??
\(\displaystyle{ F=-\left( x ^{2}-2y \right) ^{2} +6\left( y ^{2}+ \frac{1}{6}z \right) ^{2} + \frac{5}{6}z ^{2}}\)
??
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
Forma kwadratowa 4
Aha, tak sprytnie policzyłeś sobie. Zgadza się, tylko za dużo kwadratów napisałeś
I tak dla sportu, baza w której ta forma będzie miała tą postać to \(\displaystyle{ (1,0,0),(-2,1,0),(0, \frac{1}{6},1)}\), bo:
\(\displaystyle{ x_1=x-2y}\)
\(\displaystyle{ y_1=y+ \frac{1}{6}z}\)
\(\displaystyle{ z_1= z}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c} x-2y\\y+ \frac{1}{6}z\\ z\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{ccc} 1&-2&0\\0&1& \frac{1}{6} \\0&0&1\end{array}\right]
\cdot
\left[\begin{array}{c} x\\y\\z\end{array}\right]}\)
I tak dla sportu, baza w której ta forma będzie miała tą postać to \(\displaystyle{ (1,0,0),(-2,1,0),(0, \frac{1}{6},1)}\), bo:
\(\displaystyle{ x_1=x-2y}\)
\(\displaystyle{ y_1=y+ \frac{1}{6}z}\)
\(\displaystyle{ z_1= z}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c} x-2y\\y+ \frac{1}{6}z\\ z\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{ccc} 1&-2&0\\0&1& \frac{1}{6} \\0&0&1\end{array}\right]
\cdot
\left[\begin{array}{c} x\\y\\z\end{array}\right]}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Forma kwadratowa 4
Ta za dużo kwadratów. Powinno być:
\(\displaystyle{ F=-\left( x -2y \right) ^{2} +6\left( y + \frac{1}{6}z \right) ^{2} + \frac{5}{6}z ^{2}}\)
Ale to co w końcu? To ta postać diagonalna to będzie to:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1&-2&0\\0&1& \frac{1}{6} \\0&0&1\end{array}\right]}\)
??
\(\displaystyle{ F=-\left( x -2y \right) ^{2} +6\left( y + \frac{1}{6}z \right) ^{2} + \frac{5}{6}z ^{2}}\)
Ale to co w końcu? To ta postać diagonalna to będzie to:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1&-2&0\\0&1& \frac{1}{6} \\0&0&1\end{array}\right]}\)
??
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
Forma kwadratowa 4
Niee, postać diagonalna to \(\displaystyle{ A'=\left[ \begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&6&0\\0&0& \frac{5}{6}\end{array} \right]}\).
\(\displaystyle{ C=\left[\begin{array}{ccc} 1&-2&0\\0&1& \frac{1}{6} \\0&0&1\end{array}\right]}\) ta macierz to macierz przejścia bazy. Spełnia równanie:
\(\displaystyle{ A=C^T \cdot A' \cdot C}\)
\(\displaystyle{ C=\left[\begin{array}{ccc} 1&-2&0\\0&1& \frac{1}{6} \\0&0&1\end{array}\right]}\) ta macierz to macierz przejścia bazy. Spełnia równanie:
\(\displaystyle{ A=C^T \cdot A' \cdot C}\)