Forma kwadratowa 4

max123321 · Post autor: **max123321** » 22 sie 2016, o 18:17

Dane jest wyrażenie określające wartość formy kwadratowej.

\(\displaystyle{ F\left( \left( x,y,z\right) \right)=-x ^{2}+4xy+2y ^{2}+2yz+z ^{2}}\)

Podać postać diagonalną \(\displaystyle{ A'}\) macierzy formy kwadratowej, określić jej sygnaturę.

No to jak rozumiem można metodą Lagrange doprowadzić do postaci diagonalnej?
Wyszło mi

\(\displaystyle{ A'=\left[ \begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&6&0\\0&0& \frac{5}{6}\end{array} \right]}\)

Dobrze?

A sygnatura to ilość dodatnich i ujemnych elementów na przekątnej? Czyli tu to byłoby \(\displaystyle{ \left( 2,1\right)}\)?

Peter Zof · Post autor: **Peter Zof** » 27 sie 2016, o 21:11

Mogę się mylić, ale wyszło mi troszeczkę inaczej. W każdym razie możesz jeszcze spróbować diagonalizaować macierz.

max123321 · Post autor: **max123321** » 29 sie 2016, o 23:50

A jak Ci wyszło? A co to ona jest niezdiagonalizowana?

karakuku · Post autor: **karakuku** » 30 sie 2016, o 00:27

Troszeczkę inaczej może wyjść, byle by się zgadzała sygnatura i rząd.

max123321 · Post autor: **max123321** » 30 sie 2016, o 22:15

Czyli co dobrze jest?

karakuku · Post autor: **karakuku** » 30 sie 2016, o 22:23

A jakie Ci wyszły wektory?

max123321 · Post autor: **max123321** » 30 sie 2016, o 22:27

Wektory? Nie rozumiem.

karakuku · Post autor: **karakuku** » 30 sie 2016, o 23:22

Żeby znaleźć macierz diagonalną musiałeś znaleźć jakąś bazę wektorów w której ta forma ma postać diagonalną.

max123321 · Post autor: **max123321** » 30 sie 2016, o 23:42

Nie za bardzo rozumiem. Z tego co wiem to forma ma postać diagonalną w bazie wektorów własnych. Ale tutaj to nie wiem za bardzo o co chodzi. Może o tą postać chodzi:

\(\displaystyle{ F=-\left( x ^{2}-2y \right) ^{2} +6\left( y ^{2}+ \frac{1}{6}z \right) ^{2} + \frac{5}{6}z ^{2}}\)

??

karakuku · Post autor: **karakuku** » 31 sie 2016, o 00:22

Aha, tak sprytnie policzyłeś sobie. Zgadza się, tylko za dużo kwadratów napisałeś

I tak dla sportu, baza w której ta forma będzie miała tą postać to \(\displaystyle{ (1,0,0),(-2,1,0),(0, \frac{1}{6},1)}\), bo:
\(\displaystyle{ x_1=x-2y}\)

\(\displaystyle{ y_1=y+ \frac{1}{6}z}\)

\(\displaystyle{ z_1= z}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c} x-2y\\y+ \frac{1}{6}z\\ z\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{ccc} 1&-2&0\\0&1& \frac{1}{6} \\0&0&1\end{array}\right]
\cdot
\left[\begin{array}{c} x\\y\\z\end{array}\right]}\)

max123321 · Post autor: **max123321** » 2 wrz 2016, o 03:03

Ta za dużo kwadratów. Powinno być:

\(\displaystyle{ F=-\left( x -2y \right) ^{2} +6\left( y + \frac{1}{6}z \right) ^{2} + \frac{5}{6}z ^{2}}\)

Ale to co w końcu? To ta postać diagonalna to będzie to:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1&-2&0\\0&1& \frac{1}{6} \\0&0&1\end{array}\right]}\)

??

karakuku · Post autor: **karakuku** » 2 wrz 2016, o 16:49

Niee, postać diagonalna to \(\displaystyle{ A'=\left[ \begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&6&0\\0&0& \frac{5}{6}\end{array} \right]}\).

\(\displaystyle{ C=\left[\begin{array}{ccc} 1&-2&0\\0&1& \frac{1}{6} \\0&0&1\end{array}\right]}\) ta macierz to macierz przejścia bazy. Spełnia równanie:

\(\displaystyle{ A=C^T \cdot A' \cdot C}\)