Dyskusja istnienia rozwiązań układu równań

[Canary]

Cześć, mam problem z takim zadaniem:

Przedyskutować istnienie rozwiązań (w zależności od parametru \(\displaystyle{ k \in R}\)) układu równań \(\displaystyle{ Ax=b}\) wiedząc, że: \(\displaystyle{ detA=(k-1)(k+2)}\), \(\displaystyle{ detA _{1} =(k-1) ^{2} (k+2)}\), \(\displaystyle{ detA _{2} =(k+1) (k+2) ^{2}}\), \(\displaystyle{ detA _{3} =(k-1) (k+2)}\).

I teraz - z twierdzenia Cramera wiem, że kiedy \(\displaystyle{ k \neq 1 \wedge k \neq -2}\), to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Dla \(\displaystyle{ k=1}\) mamy:
\(\displaystyle{ detA _{1} =\frac{(k-1) ^{2} (k+2) }{(k-1)(k+2)}= \frac{0 \cdot 3}{0}= \frac{0}{0}}\)
\(\displaystyle{ detA _{2} =\frac{(k+1) (k+2) ^{2} }{(k-1)(k+2)}= \frac{2 \cdot 16}{0}= \frac{32}{0}}\)
\(\displaystyle{ detA _{2} =\frac{(k-1) (k+2)}{(k-1)(k+2)}= \frac{0 \cdot 3}{0}= \frac{0}{0}}\)

Dla \(\displaystyle{ k=-2}\) mamy:
\(\displaystyle{ detA _{1} =\frac{(k-1) ^{2} (k+2) }{(k-1)(k+2)}= \frac{9 \cdot 0}{0}= \frac{0}{0}}\)
\(\displaystyle{ detA _{2} =\frac{(k+1) (k+2) ^{2} }{(k-1)(k+2)}= \frac{-1 \cdot 0}{0}= \frac{0}{0}}\)
\(\displaystyle{ detA _{2} =\frac{(k-1) (k+2)}{(k-1)(k+2)}= \frac{1 \cdot 0}{0}= \frac{0}{0}}\)

W odpowiedziach jest napisane, że dla \(\displaystyle{ k=1}\) układ jest sprzeczny, a dla \(\displaystyle{ k=-2}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań.
I moje pytanie - czym różnią się te przepadki i czy nie powinny być po prostu przypadki nieoznaczone, jeśli mamy \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\). Czy te \(\displaystyle{ \frac{32}{0}}\) w jednym z przypadków sprawia, że układ jest sprzeczny?

Z góry bardzo dziękuję za odpowiedzi

[AloneAngel]

Jeżeli wyznacznik główny jest zerowy, a któryś z wyznaczników pobocznych jest niezerowy to wtedy układ jest sprzeczny.

Jeżeli wyznacznik główny jest zerowy i wszystkie te poboczne też są zerowe to wówczas układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

[Canary]

AloneAngel, bardzo dziękuję za odpowiedź :*

[a4karo]

Jeżeli wyznacznik główny jest zerowy, a któryś z wyznaczników pobocznych jest niezerowy to wtedy układ jest sprzeczny.

Jeżeli wyznacznik główny jest zerowy i wszystkie te poboczne też są zerowe to wówczas układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

To nie jest prawdą. Wszystkie wyznaczniki mogą być zerowe, a układ sprzeczny.

[AloneAngel]

Hm, z tego co pamiętam to w szkole właśnie tak mnie uczyli. Oczywiście mam tutaj na myśli układ równań nad \(\displaystyle{ \RR}\), bo zapewne w jakimś \(\displaystyle{ \ZZ_p}\) to prawdą nie musi być.

-- 22 sie 2016, o 20:04 --

@Edit: No chyba, że weźmiemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \cdot x + 0 \cdot y = 1 \\ 0 \cdot x + 0 \cdot y = 1 \end{cases}}\)
Wtedy faktycznie to nie działa. Całe życie w kłamstwie.

[a4karo]

Ano właśnie