Postać diagonalna

[max123321]

Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f:R ^{2} \rightarrow R ^{2}}\), które w bazie standardowej zerojedynkowej \(\displaystyle{ \left\{ e _{1},e _{2} \right\}}\)posiada macierz symetryczną \(\displaystyle{ A}\) postaci.
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc} 4&-6 \\ 3&-5 \end{array}\right]}\)

Podać postać diagonalną macierzy \(\displaystyle{ A'}\) przekształcenia liniowego w bazie \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ \left\{ v _{1},v _{2} \right\}}\).

O co tu chodzi?

[karakuku]

to znaczy, że trzeba znaleźć bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) złożoną z wektorów własnych \(\displaystyle{ f}\) i zapisać macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) w tej właśnie bazie

Wydaje mi się, że macierz \(\displaystyle{ A}\) nie jest symetryczna

[max123321]

A jak zapisać macierz w jakiejś bazie?

Dobra już mniej więcej wiem. Czyli działamy przekształceniem na pierwszy wektor własny i wynikowy wektor zapisujemy jako kombinacja wektorów z bazy. Tu jeden współczynnik będzie zero bo wektor własny jest przedłużeniem jednego z wektorów bazy. Dla drugiego to samo. Ale jaki jest tego sens? Skąd wiemy, że właśnie tak, a nie inaczej należy postępować, aby wyznaczyć macierz w innej bazie?

[karakuku]

Weźmy przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3}\)
i bazę \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}}\)

\(\displaystyle{ \varphi(\alpha_1)=x_{11}\alpha_1+x_{21}\alpha_2+x_{31}\alpha_3}\)
\(\displaystyle{ \varphi(\alpha_2)=x_{12}\alpha_1+x_{22}\alpha_2+x_{32}\alpha_3}\)
\(\displaystyle{ \varphi(\alpha_3)=x_{13}\alpha_1+x_{23}\alpha_2+x_{33}\alpha_3}\)

Wtedy macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\) w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) to \(\displaystyle{ \mathrm M(\varphi)_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} =\left[ \begin{array}{ccc}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\\x_{31}&x_{32}&x_{33} \end{array}\right]}\)



Załóżmy, że istnieje baza złożona z wektorów własnych przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\): \(\displaystyle{ \mathcal{B}=\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}}\) z wartościami własnymi odpowiednio \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \varphi(\beta_1)=a_1\beta_1}\)
\(\displaystyle{ \varphi(\beta_2)=a_2\beta_2}\)
\(\displaystyle{ \varphi(\beta_3)=a_3\beta_3}\)

\(\displaystyle{ \mathrm M(\varphi)_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} =\left[ \begin{array}{ccc}a_1&0&0\\0&a_2&0\\0&0&a_3 \end{array}\right]}\) - macierz diagonalna (taka, która ma wszędzie zera poza przekątną)

Można też korzystać ze wzoru:\(\displaystyle{ \mathrm M(\varphi)_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}=\mathrm M(id)_{st}^{\mathcal{A}} \cdot \mathrm M(\varphi)_{st}^{st} \cdot \mathrm M(id)_{\mathcal{A}}^{st}}\) gdzie \(\displaystyle{ st}\) to baza zerojedynkowa

[max123321]

Czekaj, ale nie bardzo rozumiem. Ta baza \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}}\) składa się z 3 wektorów: \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}\). To czym w takim razie jest to:
\(\displaystyle{ \varphi(\alpha_1)=x_{11}\alpha_1+x_{21}\alpha_2+x_{31}\alpha_3}\)
\(\displaystyle{ \varphi(\alpha_2)=x_{12}\alpha_1+x_{22}\alpha_2+x_{32}\alpha_3}\)
\(\displaystyle{ \varphi(\alpha_3)=x_{13}\alpha_1+x_{23}\alpha_2+x_{33}\alpha_3}\)

Widzę, to tak jakbyśmy działali przekształceniem na wektory z bazy i do każdego wektora mieli inny wzór? Czemu tak? Jaki jest zatem ogólny wzór tego przekształcenia?

[karakuku]

Dobieramy tak te \(\displaystyle{ x_{ij}}\) żeby się zgadzało.

Może dla przykładu weźmy tą macierz którą podałeś.
\(\displaystyle{ \mathrm M(f)_{st}^{st}=A=\left[ \begin{array}{cc} 4&-6 \\ 3&-5 \end{array}\right]}\)

wiemy z tej macierzy, że \(\displaystyle{ f(x_1,x_2)=(4x_1-6x_2 ,3x_1-5x_2)}\)

\(\displaystyle{ f((1,0))=(4,3)=4(1,0)+3(0,1)}\)

\(\displaystyle{ f((0,1))=(-6,-5)=-6(1,0)-5(0,1)}\)


A gdyby baza była \(\displaystyle{ \mathcal{D}=\{(1,0),(1,1)\}}\)?

\(\displaystyle{ f((1,0))=(4,3)=1(1,0)+3(1,1)}\)

\(\displaystyle{ f((1,1))=(-2,-2)=0(1,0)-2(1,1)}\)

\(\displaystyle{ \mathrm M(f)_{\mathcal{D}}^{\mathcal{D}} =\left[ \begin{array}{cc}1&0\\3&-2\end{array}\right]}\)

Oczywiście czasami szybciej jest skorzystać z tego:
\(\displaystyle{ \mathrm M(id)_{st}^{\mathcal{D}} \cdot \mathrm M(f)_{st}^{st} \cdot \mathrm M(id)_{\mathcal{D}}^{st}=\mathrm M(f)_{\mathcal{D}}^{\mathcal{D}}}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{cc}1&0\\3&-2\end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]^{-1}=\mathrm M(f)_{\mathcal{D}}^{\mathcal{D}}}\)

[max123321]

A gdyby baza była \(\displaystyle{ \mathcal{D}=\{(1,0),(1,1)\}}\)?

\(\displaystyle{ f((1,0))=(4,3)=1(1,0)+3(1,1)}\)

\(\displaystyle{ f((1,1))=(-2,-2)=0(1,0)-2(1,1)}\)

\(\displaystyle{ \mathrm M(f)_{\mathcal{D}}^{\mathcal{D}} =\left[ \begin{array}{cc}1&0\\3&-2\end{array}\right]}\)

No dobra weźmy tą bazę. Tu założyłeś, że wzór przekształcenia jest taki sam jak poprzednio, zgadza się? A jeślibyśmy mieli tą macierz co wyliczyłeś i chcieli z tego wzór przekształcenia przy tej bazie znaleźć? Co wtedy?

[karakuku]

Rozumiem, że chodzi Ci o przypadek kiedy mamy podaną macierz przekształcenia i bazę w jakiej jest, a naszym zadaniem jest znaleźć wzór.

To działamy w drugą stronę.
\(\displaystyle{ \mathcal{D}=\{(1,0),(1,1)\}}\)
\(\displaystyle{ \mathrm M(f)_{\mathcal{D}}^{\mathcal{D}} =\left[ \begin{array}{cc}1&0\\3&-2\end{array}\right]}\)

Z macierzy przekształcenia wiemy, że:

\(\displaystyle{ f((1,0))=1(1,0)+3(1,1)=(4,3)}\)

\(\displaystyle{ f((1,1))=0(1,0)-2(1,1)=(-2,-2)}\)


\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc|cc}1&0&4&3\\1&1&-2&-2\end{array}\right] \overrightarrow{w_2-w_1} \left[ \begin{array}{cc|cc}1&0&4&3\\0&1&-6&-5\end{array}\right]}\)

Więc \(\displaystyle{ f(x_1,x_2)=(4x_1-6x_2 ,3x_1-5x_2)}\)

[max123321]

Czyli niezależnie od bazy wzór przekształcenia zawsze pozostaje taki sam?

[karakuku]

Wzór przekształcenia nie może się zmienić, bo jak się zmieni to już będzie to inne przekształcenie.

Istnieje przekształcenie \(\displaystyle{ g}\) dla którego \(\displaystyle{ \mathrm M(g)_{st}^{st} =\left[ \begin{array}{cc}1&0\\3&-2\end{array}\right]}\).

Ale \(\displaystyle{ g \neq f}\), bo mają różne wzory.

[max123321]

To w takim razie w tym zadaniu ta macierz diagonalna w bazie wektorów własnych wyszła mi:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}-2&0\\0&1\end{array}\right]}\)

Dobrze?

To czym w takim razie jest macierz przekształcenia dla przekształcenia liniowego? Jaki jest związek?

[karakuku]

Wartości własne na przekątnej i wszędzie indziej zera, czyli dobrze.

Ta definicja macierzy przekształcenia dotyczy tylko przekształceń liniowych. Wszystkie podane przykłady przekształceń są liniowe(\(\displaystyle{ \varphi, g, f)}\)

[max123321]

No ok, a jeśli należałoby sprawdzić czy wektory własne tworzą bazę ortogonalną w przestrzeni R kwadrat to wtedy wystarczy chyba sprawdzić czy ich iloczyn skalarny jest równy zero? W tym przypadku nie jest czyli nie jest ortogonalna?

[karakuku]

Tak. Nie istnieje prostopadła baza tego przekształcenia złożona z wektorów własnych.