Wartości i wektory własne

[max123321]

Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f:R ^{2} \rightarrow R ^{2}}\), które w bazie standardowej zerojedynkowej \(\displaystyle{ \left\{ e _{1},e _{2} \right\}}\)posiada macierz symetryczną \(\displaystyle{ A}\) postaci.
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc} 4&-6 \\ 3&-5 \end{array}\right]}\)

Sprawdzić czy wektory własne \(\displaystyle{ \left\{ v _{1},v _{2} \right\}}\) tworzą bazę ortogonalną w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{2}}\), w której to macierz \(\displaystyle{ A}\) przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f}\) przyjmie postać diagonalną.

Wektory własne wyszły mi: \(\displaystyle{ \left[ 1,1\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[ 2,1\right]}\), sprawdziłem, że ich iloczyn skalarny jest różny od zera, czyli wyglądałoby na to, że nie jest ortogonalna. Zgadza się? A o co chodzi z tym, że macierz przekształcenia liniowego przyjmuje postać diagonalną? Dlaczego tak się dzieje?

[Poszukujaca]

Tak, zgadza się. Wektory własne tej macierzy nie tworzą bazy ortogonalnej, gdyż są parami prostopadłe. Tymbardziej nie tworzą bazy ortonormalnej.