Twierdzenie o istnieniu bazy
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Twierdzenie o istnieniu bazy
Dowód: Rozważmy rodzinę
\(\displaystyle{ \Phi =\left\{ D : A \subset D \subset C\right\}}\) i \(\displaystyle{ D}\) - zbiór wektorów liniowo niezależnych.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \Phi \neq \emptyset}\) bo \(\displaystyle{ A \in \Phi}\) oraz że \(\displaystyle{ \Phi}\) jest częściowo uporządkowany przez relację inkluzji.
Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzie dowolnym, niepustym łańcuchem w \(\displaystyle{ \Phi}\). Definiujemy
\(\displaystyle{ D_0:=\bigcup_{D \in \Omega} D}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ A \subset D_0 \subset C}\) bo \(\displaystyle{ \forall _{D \in \Omega} A \subset D \subset C}\).
Pokażemy, że \(\displaystyle{ D_0}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych:
Niech \(\displaystyle{ v_1,v_2,...,v_k \in D_0}\). \(\displaystyle{ \Omega}\) jest łańcuchem, więc \(\displaystyle{ \exists _{D \in \Omega} v_1,v_2,...,v_k \in D}\). Ponadto \(\displaystyle{ \Omega \subset \Phi \Rightarrow D}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych, a zatem \(\displaystyle{ D_0}\) również, czyli dowolny łańcuch \(\displaystyle{ \Omega}\) ma majorantę w \(\displaystyle{ \Phi}\).
Czy mógłby ktoś wytłumaczyć dwie ostatnie linijki?
\(\displaystyle{ \Phi =\left\{ D : A \subset D \subset C\right\}}\) i \(\displaystyle{ D}\) - zbiór wektorów liniowo niezależnych.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \Phi \neq \emptyset}\) bo \(\displaystyle{ A \in \Phi}\) oraz że \(\displaystyle{ \Phi}\) jest częściowo uporządkowany przez relację inkluzji.
Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzie dowolnym, niepustym łańcuchem w \(\displaystyle{ \Phi}\). Definiujemy
\(\displaystyle{ D_0:=\bigcup_{D \in \Omega} D}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ A \subset D_0 \subset C}\) bo \(\displaystyle{ \forall _{D \in \Omega} A \subset D \subset C}\).
Pokażemy, że \(\displaystyle{ D_0}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych:
Niech \(\displaystyle{ v_1,v_2,...,v_k \in D_0}\). \(\displaystyle{ \Omega}\) jest łańcuchem, więc \(\displaystyle{ \exists _{D \in \Omega} v_1,v_2,...,v_k \in D}\). Ponadto \(\displaystyle{ \Omega \subset \Phi \Rightarrow D}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych, a zatem \(\displaystyle{ D_0}\) również, czyli dowolny łańcuch \(\displaystyle{ \Omega}\) ma majorantę w \(\displaystyle{ \Phi}\).
Czy mógłby ktoś wytłumaczyć dwie ostatnie linijki?
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
Twierdzenie o istnieniu bazy
To jest zastosowanie tego
Wniosek z lematu Kuratowskiego-Zorna:
"W dowolnej niepustej rodzinie zbiorów częściowo uporządkowanej relacją zawierania, do której należy suma każdego jej niepustego łańcucha, istnieje element maksymalny"
Wniosek z lematu Kuratowskiego-Zorna:
"W dowolnej niepustej rodzinie zbiorów częściowo uporządkowanej relacją zawierania, do której należy suma każdego jej niepustego łańcucha, istnieje element maksymalny"
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Twierdzenie o istnieniu bazy
Ok to inaczej. Skąd mamy pewność, że istnieje takie \(\displaystyle{ D}\)?Benny01 pisze: Niech \(\displaystyle{ v_1,v_2,...,v_k \in D_0}\). \(\displaystyle{ \Omega}\) jest łańcuchem, więc \(\displaystyle{ \exists _{D \in \Omega} v_1,v_2,...,v_k \in D}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
Twierdzenie o istnieniu bazy
No skoro to jest łańcuch relacji inkluzji to zachodzi \(\displaystyle{ {\displaystyle {\big (}\forall A,B\in \Omega{\big )}{\big (}A\subseteq B \vee B\subseteq A{\big )}}}\)
Czyli zbiory z \(\displaystyle{ \Omega}\) możemy sobie ustawić w taką kolejkę \(\displaystyle{ X_1 \subseteq X_2 \subseteq X_3 \subseteq ...}\)
No i teraz wiemy, że te wektory \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3,...,v_k \in \bigcup_{X \in \Omega} X}\) są na pewno gdzieś w kolejce, więc ich szukamy:
Załóżmy, że znaleźliśmy taki \(\displaystyle{ X_i}\), że \(\displaystyle{ v_1,...,v_m \in X_i, m<k}\), więc brakujących wektorów będziemy szukać w \(\displaystyle{ X_j}\) dla \(\displaystyle{ j>i}\). Ale skoro \(\displaystyle{ j>i}\) to \(\displaystyle{ X_i \subseteq X_j}\) czyli ostatecznie znajdziemy takie \(\displaystyle{ X_n}\), że \(\displaystyle{ v_1,...,v_k \in X_n}\)
Czyli zbiory z \(\displaystyle{ \Omega}\) możemy sobie ustawić w taką kolejkę \(\displaystyle{ X_1 \subseteq X_2 \subseteq X_3 \subseteq ...}\)
No i teraz wiemy, że te wektory \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3,...,v_k \in \bigcup_{X \in \Omega} X}\) są na pewno gdzieś w kolejce, więc ich szukamy:
Załóżmy, że znaleźliśmy taki \(\displaystyle{ X_i}\), że \(\displaystyle{ v_1,...,v_m \in X_i, m<k}\), więc brakujących wektorów będziemy szukać w \(\displaystyle{ X_j}\) dla \(\displaystyle{ j>i}\). Ale skoro \(\displaystyle{ j>i}\) to \(\displaystyle{ X_i \subseteq X_j}\) czyli ostatecznie znajdziemy takie \(\displaystyle{ X_n}\), że \(\displaystyle{ v_1,...,v_k \in X_n}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
Twierdzenie o istnieniu bazy
\(\displaystyle{ D_0={\displaystyle \bigcup _{D\in \Omega}D=\{v:\exists_{ D\in \Omega}(v\in D)\}.}}\)
Czyli \(\displaystyle{ \forall_{v \inv \in D_0} \exists_{ D\in \Omega}(v\in D)}\)
// a właściwie \(\displaystyle{ \forall_{\{v_1,...,v_k\} \subseteq D_0} \exists_{ D\in \Omega}(\{v_1,...,v_k\} \subseteq D)}\)
Czyli \(\displaystyle{ \forall_{v \inv \in D_0} \exists_{ D\in \Omega}(v\in D)}\)
// a właściwie \(\displaystyle{ \forall_{\{v_1,...,v_k\} \subseteq D_0} \exists_{ D\in \Omega}(\{v_1,...,v_k\} \subseteq D)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Twierdzenie o istnieniu bazy
Ok, więc z lematu Kuratowskiego-Zorna wiemy, ze w \(\displaystyle{ \Phi}\) istnieje el. maksymalny.
Oznaczmy go przez \(\displaystyle{ B}\).
Musimy wykazać, ze \(\displaystyle{ linB=V}\)
Jak pokazać, że \(\displaystyle{ linB \subset V}\)?
Oznaczmy go przez \(\displaystyle{ B}\).
Musimy wykazać, ze \(\displaystyle{ linB=V}\)
Jak pokazać, że \(\displaystyle{ linB \subset V}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Twierdzenie o istnieniu bazy
"Jest oczywiste, że \(\displaystyle{ B \subseteq span(B)}\)", ale co to ma do \(\displaystyle{ V}\) skoro my musimy pokazać, że \(\displaystyle{ span(B)=V}\), więc nie widzę tutaj, aby \(\displaystyle{ span(B) \subset V}\)
Czy wiemy, że \(\displaystyle{ B \subset V}\), bo \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych w \(\displaystyle{ V}\)?
Czy wiemy, że \(\displaystyle{ B \subset V}\), bo \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych w \(\displaystyle{ V}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
Twierdzenie o istnieniu bazy
Ja bym napisał po prostu, że oczywistym jest, że \(\displaystyle{ \forall_{v \in V} \exists_{a_1,...,a_n\in K } (v=a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n)}\) gdzie \(\displaystyle{ v_1,...,v_n}\) to wektory niezależne liniowo
-
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 14 sie 2016, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 60 razy
Twierdzenie o istnieniu bazy
TakBenny01 pisze: Czy wiemy, że \(\displaystyle{ B \subset V}\), bo \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych w \(\displaystyle{ V}\)?