Diagonalizowalna macierz przekształcenia - równoważny warune

[matinf]

Cześć,

Na pewnej angielskiej stronie znalazłem coś takiego:

\(\displaystyle{ f}\) is diagonalizable \(\displaystyle{ \Leftrightarrow algmult(\lambda)=geomult(\lambda)}\) for every eigenvalue \(\displaystyle{ \lambda}\) of \(\displaystyle{ f}\)

Co to są \(\displaystyle{ algmult/geomult}\) ?
\(\displaystyle{ f}\) to było przekształcenie liniowe, zaś \(\displaystyle{ f}\) w tym wyrażeniu jest traktowane jako pewna macierz przekształcenia w pewnej bazie.


Zadanie brzmi:
Że mamy epimorfim i jednocześnie endomorfizm. Czy istnieje taka baza, że nasza macierz przekształcenia jest diagonalna?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \text{algmult}(\lambda)}\) i \(\displaystyle{ \text{geomult}(\lambda)}\) to krotność algebraiczna i geometryczna wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\).

[matinf]

A możesz powiedzieć dokładniej ? Nic mi to nie mówi.

[Premislav]

Krotność algebraiczna to po prostu krotność wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) macierzy \(\displaystyle{ f}\)
jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego \(\displaystyle{ f}\).
Tj. przykładowo dla macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&3&2\\0&1&-2\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
krotność algebraiczna wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda=1}\) jest równa \(\displaystyle{ 3}\), bo wielomian charakterystyczny tej macierzy to \(\displaystyle{ W(\lambda)=(1-\lambda)^3}\) i \(\displaystyle{ 1}\) jest jego pierwiastkiem potrójnym.

Krotność geometryczna to wymiar przestrzeni liniowej generowanej przez wektory własne odpowiadające wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\).

[matinf]

Czy możesz pokazać jak rozwiązać to zadanie ?
Że mamy epimorfim i jednocześnie endomorfizm. Czy istnieje taka baza, że nasza macierz przekształcenia jest diagonalna? To przekształcenie jest z przestrzeni skończonego wymiaru w przestrzeń skończonego wymiaru.

Bo ja nie mam pojęcia.


PS może być dowolny sposób.

[Premislav]

Dawno miałem algebrę liniową, ale mnie się wydaje, że przekształcenie
\(\displaystyle{ f: \RR^2 \mapsto \RR^2}\) o macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\)
jest kontrprzykładem - macierz \(\displaystyle{ f}\) nie jest diagonalizowalna, a takie \(\displaystyle{ f}\) jest epimorfizmem i zarazem endomorfizmem przestrzeni liniowych, więc jak dla mnie odpowiedź na pytanie z zadania brzmi: niekoniecznie.
Nie jest to prawdą w ogólności.
I tu właśnie mamy krotność algebraiczną wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda=1}\) (równą \(\displaystyle{ 2}\)) różną od geometrycznej (równej \(\displaystyle{ 1}\)).

[matinf]

Tak, rozumiem o co chodzi Ci. Ale prziecież zadanie brzymi: czy istnieje baza w której macierz przekształcenia...
Ty tutaj nie bierzesz żadnej bazy,

[Premislav]

Jak na moje oko kontrprzykład jest dobry, a treść zadania - dziwna.
Powiedzmy, że patrzymy na macierz \(\displaystyle{ A}\) epimorfizmu \(\displaystyle{ f: V \rightarrow V}\) w bazie \(\displaystyle{ b_1}\). Jest ona diagonalizowalna w tej bazie wtedy i tylko wtedy, gdy wektory własne \(\displaystyle{ A}\) tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) (inaczej nie zbudujemy odpowiedniej macierzy \(\displaystyle{ P}\), dla której \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest macierzą diagonalną).
Teraz popatrzmy, że ze gdy zmienimy bazę, to zadziałamy jakąś odwracalną macierzą przejścia \(\displaystyle{ C}\) z \(\displaystyle{ b_1}\) do \(\displaystyle{ b_2}\) i wtedy jeśli (według zapisu z bazy \(\displaystyle{ b_1}\)) mamy \(\displaystyle{ Av_i=\alpha_i v_i,}\) (\(\displaystyle{ v_i}\) - wektory własne, \(\displaystyle{ \alpha_i}\) - odpowiadające im wartości własne - różne od zera), to
\(\displaystyle{ CA(v_i)=C(Av_i)=C \cdot \alpha_i v_i=\alpha_i(Cv_i)}\)
oraz \(\displaystyle{ (Cv_i)}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ v_i}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ V}\).
W moim kontrprzykładzie mamy jedną, jednowymiarową przestrzeń wektorów własnych, więc nie da się z niej wybrać bazy \(\displaystyle{ \RR^2}\), która jest wymiaru \(\displaystyle{ 2}\). No i koniec.