Macierz Jordana

[karakuku]

Jeśli tą czterokrotną wartością własną jest 2 to dokładnie tak.

[Benny01]

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 2&-1&2&-1\\0&1&2&-1\\0&0&2&0\\0&1&-2&3 \end{bmatrix}}\)
Na początku dostałem 3 wektory własne \(\displaystyle{ (1,0,0,0), (0,1,0,-1), (0,0,1,2)}\)
I uzupełniłem do 4 \(\displaystyle{ (1,0,0,0),(0,2,1,0),(0,-1,0,0),(0,-1,0,1)}\)
Coś mi dalej nie wychodzi. Wybrałem opcję pierwszą.
Mam więc
\(\displaystyle{ f( \alpha _1)=\alpha _1}\)
\(\displaystyle{ f(\alpha _2)= \alpha _2}\)
\(\displaystyle{ f( \alpha _3)= \alpha _3}\)
\(\displaystyle{ f(\alpha _4)=2 \alpha _4 + \alpha _3}\)
Wziąłem, że \(\displaystyle{ \alpha _4=(0,-1,0,0)}\)
Z tego mi wyszło, że \(\displaystyle{ \alpha _3=(1,1,0,-1)}\).
Pozostałe wziąłem z wektorów własnych tj. \(\displaystyle{ \alpha _1=(1,0,0,0), \alpha _2=(0,0,1,2)}\)
Co tu jest nie tak?

[karakuku]

No i się wszystko zgadza.

Masz \(\displaystyle{ P=\begin{bmatrix} 1&0&1&0\\0&0&1&-1\\0&1&0&0\\0&2&-1&0 \end{bmatrix}}\)

Dla pewności możesz sprawdzić czy \(\displaystyle{ P \cdot J \cdot P^{-1}=A}\)

//zgadza się

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%281,0,1,0%29,%280,0,1,-1%29,%280,1,0,0%29,%280,2,-1,0%29%29*%28%282,0,0,0%29,%280,2,0,0%29,%280,0,2,1%29,%280,0,0,2%29%29*%28%281,0,1,0%29,%280,0,1,-1%29,%280,1,0,0%29,%280,2,-1,0%29%29%5E%28-1%29

[Benny01]

Chyba wiem co przekombinowałem, ale nie wiem czemu tak jest. Zawsze te macierze przejścia mnie mylą. Czemu jak szukamy macierzy diagonalnej/Jordana to macierz przejścia tworzą wektory własne?

[karakuku]

Macierz \(\displaystyle{ \mathrm M(id)_{\mathcal{A}}^{st}}\) to wektory z //bazy \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) ustawione w kolumnach, z definicji macierzy przekształcenia.

Jeśli baza \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) składa się z samych wektorów własnych //niezależnych liniowo jakiegoś przekształcenia \(\displaystyle{ \psi}\) to mamy \(\displaystyle{ \mathrm M(\psi)_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}}\) w postaci diagonalnej.

Ale może się zdarzyć, że wektory własne \(\displaystyle{ \psi}\) rozpinają przestrzeń wymiaru mniejszego niż wymiar \(\displaystyle{ \psi}\) i wtedy możemy najwyżej szukać takiej bazy \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) dla której \(\displaystyle{ \mathrm M(\psi)_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}}\) jest w postaci Jordana. I wtedy baza \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) nie składa się z samych wektorów własnych \(\displaystyle{ \psi}\), bo jest ich po prostu za mało.

//
Wystarczy się przyjrzeć macierzy diagonalnej żeby zauważyć dlaczego jako bazę bierzemy wektory własne.

Mamy macierz diagonalną, czyli macierz jakiegoś przekształcenia w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{\alpha_1,...,\alpha_n\}}\)

\(\displaystyle{ \mathrm M(\psi)_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} =
\begin{bmatrix}
a_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_n
\end{bmatrix}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\) to wartości własne \(\displaystyle{ \psi}\)

Widać, że:
\(\displaystyle{ \psi(\alpha_1)=a_1\alpha_1}\)
.
.
.
\(\displaystyle{ \psi(\alpha_n)=a_n\alpha_n}\)

Czyli z definicji \(\displaystyle{ \alpha_1,...\alpha_n}\) muszą być wektorami własnymi i niezależnymi liniowo bo mają tworzyć bazę przestrzeni.