Macierz Jordana

[Benny01]

Niech \(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1&1&0&1\\0&0&2&1\\0&-1&3&1\\0&0&-1&0 \end{bmatrix}}\) będzie macierzą endomorfizmu \(\displaystyle{ f:V \rightarrow V}\) w bazie \(\displaystyle{ B=(e_1,e_2,e_3,e_4)}\). Podaj bazę, w której macierz \(\displaystyle{ J}\) odwzorowania \(\displaystyle{ f}\) ma postać Jordana. Wypisz tę macierz \(\displaystyle{ J}\) oraz nieosobliwą macierz \(\displaystyle{ P}\) taką, że \(\displaystyle{ PJP^{-1}=A}\). Znajdź bazę obrazu endomorfizmu \(\displaystyle{ f}\).

Najpierw szukam wartości własnych.
\(\displaystyle{ det \begin{bmatrix} 1-\lambda &1&0&1\\0&-\lambda &2&1\\0&-1&3-\lambda &1\\0&0&-1&-\lambda \end{bmatrix}=(\lambda -1)^4}\)

Mamy \(\displaystyle{ \lambda =1}\) wartość czterokrotna.

Szukam wektorów własnych.
\(\displaystyle{ (A-I)X=0}\)

Dostaję \(\displaystyle{ x_1=t}\), \(\displaystyle{ x_2=x_3=-x_4=s}\)

Jak mam oznaczać te wektory?

\(\displaystyle{ linV_{(1)}=\left\{ (1,0,0,0), (0,1,1,-1)\right\}}\)

Brakuje jeszcze dwóch wektorów, musimy dopełnić przestrzeń.

\(\displaystyle{ (A-I)v^{(2)}=v^{(1)}}\)

Dostaję warunek \(\displaystyle{ t=s}\)

\(\displaystyle{ x_1=p}\), \(\displaystyle{ x_2=x_3=q}\), \(\displaystyle{ x_4=t-q}\)

\(\displaystyle{ linV_{(2)}=\left\{ (1,0,0,0),(0,1,1,-1),(0,0,0,1)\right\}}\)

Brakuje jeszcze jednego wektora.

\(\displaystyle{ (A-I)v^{(3)}=v^{(2)}}\)

Dostaje warunek \(\displaystyle{ p+t=q}\)

\(\displaystyle{ x_1=w}\), \(\displaystyle{ x_2=r}\), \(\displaystyle{ x_3=r+t}\), \(\displaystyle{ x_4=p-r}\)

\(\displaystyle{ linV_{(3)}=\left\{ (1,0,0,0), (0,1,1,-1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\right\}}\)
Co mam robić dalej?

[karakuku]

Jak mam oznaczać te wektory?

\(\displaystyle{ linV_{(1)}=\left\{ (1,0,0,0), (0,1,1,-1)\right\}}\)

Oznaczenie \(\displaystyle{ V_{(a)}}\) zazwyczaj oznacza przestrzeń rozpiętą przez wektory własne z wartością własną \(\displaystyle{ a}\).

Więc prędzej \(\displaystyle{ V_{(1)}=lin\left\{ (1,0,0,0), (0,1,1,-1)\right\}}\)

Brakuje jeszcze dwóch wektorów, musimy dopełnić przestrzeń.

\(\displaystyle{ (A-I)v^{(2)}=v^{(1)}}\)

A tego nie rozumiem, co oznaczyłeś przez \(\displaystyle{ v^{(2)}}\) i \(\displaystyle{ v^{(1)}}\) ?

[Benny01]

Bodajże kolejno wektor drugiego i pierwszego rzędu.

[karakuku]

OK, czyli ten wektor \(\displaystyle{ (0,0,1,0)}\) możemy wziąć jako ostatni z bazy Jordana, tzn. \(\displaystyle{ \alpha_4=(0,0,1,0)}\) gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}}\) to baza Jordana

To wystarczy policzyć brakujące wektory, bo wiemy, że:
\(\displaystyle{ (A-I) \alpha_4=\alpha_3}\)
\(\displaystyle{ (A-I) \alpha_3=\alpha_2}\)

a, \(\displaystyle{ \alpha_2}\) powinien być wektorem własnym

[Benny01]

Mógłbyś to rozwiązać? Mam rozwiązanie w zeszycie, ale może źle je zrobiłem, a nigdzie nie mogę znaleźć wzorca.

[karakuku]

To już jest rozwiązane

Mogę opisać to co Ty zrobiłeś.

Najpierw znalazłeś jądro przekształcenia zadanego macierzą \(\displaystyle{ (A-I)^1}\) czyli wektory własne \(\displaystyle{ f}\). Znalazłeś dwa wektory, czyli w macierzy Jordana na pewno mamy dwie klatki rozmiaru \(\displaystyle{ \ge 1}\)

Potem uzupełniłeś to do jądra przekształcenia zadanego macierzą \(\displaystyle{ (A-I)^2}\). Brakowało jednego, czyli mamy jedną klatkę rozmiaru \(\displaystyle{ \ge 2}\).

Jeszcze nie mamy całego \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) więc szukamy jądra z \(\displaystyle{ (A-I)^3}\).
\(\displaystyle{ r((A-I)^3)=0}\) więc mamy komplet. Uzupełniliśmy jeden wektor.

Mamy w takim razie jedną klatkę rozmiaru 1 i jedną klatkę rozmiaru 3.
Nasza macierz Jordana ma postać

\(\displaystyle{ J= \begin{bmatrix} 1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}}\)

lub

\(\displaystyle{ J= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1 \end{bmatrix}}\)

Weźmy sobie tą drugą. Mamy bazę Jordana \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}}\)

Macierz \(\displaystyle{ J}\) to po prostu macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\)
Więc wiemy na pewno, że:
\(\displaystyle{ f(\alpha_1)=\alpha_1}\)
\(\displaystyle{ f(\alpha_2)=\alpha_2}\)
\(\displaystyle{ f(\alpha_3)=\alpha_3+\alpha_2}\)
\(\displaystyle{ f(\alpha_4)=\alpha_4+\alpha_3}\)

Widać od razu, że \(\displaystyle{ \alpha_1}\) to dowolny wektor własny przekształcenia \(\displaystyle{ f}\)

Ostatni wektor który uzupełniliśmy możemy wziąć jako ostatni wektor klatki czyli w tym przypadku jako \(\displaystyle{ \alpha_4}\) podstawiamy \(\displaystyle{ (0,0,1,0)}\)

\(\displaystyle{ f((0,0,1,0)=(0,0,1,0)+\alpha_3}\)
Wyliczamy \(\displaystyle{ \alpha_3}\) itd.

[Benny01]

To zacznę od klatek. Nie ogarniam o co z nimi chodzi. Nie wiem od czego zależy ich rozmiar oraz ile ich ma być.

[karakuku]

Rozmiar i ilość klatek zależy właśnie od tych wektorów którymi dopełniasz przestrzeń.
Ilość wektorów o jakie uzupełniasz oznacza ilość klatek, a stopień oznacza rozmiar.

Czyli jak mieliśmy \(\displaystyle{ \mathrm M(\psi)_{st}^{st} = A-I}\)

\(\displaystyle{ ker(\psi)=lin{(1,0,0,0),(0,1,1,-1)}}\) - dwie klatki rozmiaru \(\displaystyle{ \ge 1}\), bo dodaliśmy dwa wektory aby mięć jądro \(\displaystyle{ \psi^1}\)

\(\displaystyle{ ker(\psi^2)=lin{(1,0,0,0),(0,1,1,-1),(0,0,0,1)}}\) - jedna klatka rozmiaru \(\displaystyle{ \ge 2}\), bo dodaliśmy jeden wektor aby mieć jądro \(\displaystyle{ \psi^2}\)

\(\displaystyle{ ker(\psi^3)=lin{(1,0,0,0),(0,1,1,-1),(0,0,0,1),(0,0,1,0)}=\mathbb{R}^4}\) - jedna klatka rozmiaru \(\displaystyle{ \ge 3}\), bo dodaliśmy jeden wektor aby mieć jądro \(\displaystyle{ \psi^3}\)

Czyli tak naprawdę obserwujemy zmiany wymiaru jądra przekształcenia podnoszonego do kolejnych potęg.

Można badać to patrząc na \(\displaystyle{ r(A-I)^n}\). Bo jak wiemy \(\displaystyle{ dim(ker(\psi^n))=r(A-I)^n}\)



//Poprawka: \(\displaystyle{ dim(im(\psi^n))=r(A-I)^n}\)

Ale \(\displaystyle{ dim(im(\psi^n)-dim(im(\psi^{n+1})=dim(ker(\psi^{n+1})-dim(ker(\psi^n)}\) więc rząd macierzy się przydaje do obserwowania tych różnic

[Benny01]

Mam tak:
\(\displaystyle{ f((0,0,1,0))=(0,2,3,-1)}\), \(\displaystyle{ \alpha _3=(0,2,2,-1)}\)
\(\displaystyle{ f((0,2,2,-1))=(4,3,3,-2)}\), \(\displaystyle{ \alpha _2=(4,1,1,-1)}\)
\(\displaystyle{ \alpha _1=(1,0,0,0)}\)
Czym będzie macierz \(\displaystyle{ P}\)?

[karakuku]

\(\displaystyle{ f((0,2,2,-1))=(1,3,3,-2)}\) a nie \(\displaystyle{ (4,3,3,-2)}\)

Czyli mamy \(\displaystyle{ \mathrm M(f)_{st}^{st} = A}\) ,a \(\displaystyle{ \mathrm M(f)_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} = J}\)

\(\displaystyle{ \mathrm M(f)_{st}^{st} =\mathrm M(id)_{\mathcal{A}}^{st} \cdot \mathrm M(f)_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}} \cdot \mathrm M(id)_{st}^{\mathcal{A}}}\)

Czyli \(\displaystyle{ P=\mathrm M(id)_{\mathcal{A}}^{st}}\)

[Benny01]

Ok teraz od czego zależy jak ta macierz Jordana będzie wyglądała, bo podałeś dwa przypadki, ale skąd wiadomo jaki otrzymamy?

[karakuku]

Kolejność klatek możemy sobie zmieniać, zmieniając kolejność wektorów w bazie.

Dla bazy \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}}\) mamy \(\displaystyle{ J= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1 \end{bmatrix}}\)

A dla bazy \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_1\}}\) mamy \(\displaystyle{ J= \begin{bmatrix} 1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}}\)

Oczywiście wektory z tej samej klatki muszą być w tej samej kolejności. Czyli nie możemy zamienić kolejnością ciągu wektorów \(\displaystyle{ \{\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}}\) bo "zepsujemy" klatkę.

[Benny01]

Oczywiście wektory z tej samej klatki muszą być w tej samej kolejności.

Skąd mam wiedzieć, które wektory należą do której klatki?

[karakuku]

Wiesz jak znaleźć ostatni wektor z klatki. W tym przypadku znalazłeś wektor \(\displaystyle{ (0,0,1,0)}\) który jest ostatnim wektorem klatki rozmiaru 3. Dzięki niemu obliczyłeś drugi wektor tej klatki i następnie pierwszy wektor tej klatki.

[Benny01]

Mam macierz 4x4 i jedną wartość własną czterokrotną. Dostałem 3 wektory własne, więc trzeba jeszcze jednego, aby dopełnić przestrzeń.
Wynika z tego, że będą 3 klatki rozmiaru \(\displaystyle{ \ge 1}\) i jedna klatka rozmiaru \(\displaystyle{ \ge 2}\).
Macierz Jordana będzie postaci
\(\displaystyle{ J= \begin{bmatrix} 2&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2 \end{bmatrix}}\)
lub
\(\displaystyle{ J= \begin{bmatrix} 2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2 \end{bmatrix}}\)
lub
\(\displaystyle{ J= \begin{bmatrix} 2&0&0&0\\0&2&1&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2 \end{bmatrix}}\)
tak?