Pół roku temu kończyłem kurs algebry, jednak już zapomniałem jak dokonywać rozkładu macierzy. Głupio mi z tego powodu, więc postanowiłem się poprawić i sobie to przypomnieć, ale mi nie wychodzi.
Mam macierz \(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}2&-1&0\\0&2&0\\0&1&2\end{array}\right]}\). Chcę ją sprowadzić do postaci \(\displaystyle{ PJP^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ J}\) jest macierzą Jordana. Potrzebuję do tego wartości własnych, oraz odpowiadających im wektorów własnych, z których to skonstruuję macierz przejścia \(\displaystyle{ P}\), prawda?
Wielomian charakterystyczny \(\displaystyle{ \varphi ( \lambda ) = \det (A - \lambda I) = (2 - \lambda)^3}\), wobec tego jedyną wartością własną jest \(\displaystyle{ \lambda = 2}\).
Szukam teraz odpowiadających jej wektorów własnych rozwiązując układ równań \(\displaystyle{ (A - \lambda I) v = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\), dostaję:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&-1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{array}\right] v = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\). Widać, że pierwsza i ostatnia współrzędna mogą być dowolne, więc wektor będący rozwiązaniem tego układu
jest postaci \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \alpha \\0\\ \gamma \end{array}\right]}\).
Stąd uzyskam tylko dwa wektory własne, a do bazy Jordana potrzeba mi trzech i w tym miejscu właśnie się gubię. Co dalej? Uzupełniało się te wektory własne innymi wektorami, które wyznaczało się rekurencyjnie rozwiązując układ \(\displaystyle{ (A - \lambda I) v_i = v_{i-1}}\)
No tyle, że jeśli wstawię wektor własny \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \alpha \\0\\ 0 \end{array}\right]}\) do układu to dostanę \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&-1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} v_x \\v_y\\ v_z \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \alpha \\0\\ 0 \end{array}\right]}\) skąd dostanę \(\displaystyle{ v_y = 0 = \alpha}\) co nic mi nie daje. To samo dzieje się, gdy do równania wstawię wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 0 \\0\\ \gamma \end{array}\right]}\). Pierwszy raz spotykam się z taką sytuacją, co pewnie podkreśla jak mało zadań z algebry w życiu rozwiązałem. Ostatnią deską ratunku wydaje się nie rozdzielanie tego na poszczególne wektory własne tylko wstawienie tego wektora, który otrzymałem na początku, w postaci ogólnej.
Mam zatem \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&-1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} v_x \\v_y\\ v_z \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \alpha \\0\\ \gamma \end{array}\right]}\)
Teraz wnioskuję, że \(\displaystyle{ v_x, v_z \in \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ -v_y = \alpha \wedge v_y = \gamma}\), co wydaje mi się, że narzuca pewien warunek na wektory własne, mianowicie, że musi być \(\displaystyle{ -\alpha = \gamma}\).
Przyjmę \(\displaystyle{ 1/-1}\), żeby pasowało, a skoro \(\displaystyle{ v_x, v_z}\) są dowolne, to przyjmę oba równe \(\displaystyle{ 0}\).
Czy zatem wektory bazy Jordana, z których zbuduję macierz przejścia mogą wyglądać tak: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1 \\0\\ 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{ccc} 0 \\0\\ -1 \end{array}\right], \left[\begin{array}{ccc} 0 \\-1\\ 0 \end{array}\right]}\) ?
Wolfram pokazuje, że nie, a przy doborze wektorów własnych przyjmuje \(\displaystyle{ \alpha = \gamma = 1}\) i chyba w jakiś inny sposób wyznacza wektor dołączony. Tutaj
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B2,-1,0%7D,%7B0,2,0%7D,%7B0,1,2%7D%7DProszę zatem was o pomoc, bo po prostu zgłupiałem i zapomniałem jak się takie rzeczy robi. W sumie to nigdy ich dobrze nie umiałem i teraz odczuwam tego konsekwencje. Czy to się jakoś inaczej robi? Musi przecież istnieć jakiś algorytm, jak na prawie wszystko w algebrze liniowej.
Z Góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam.
