Odwzorowanie liniowe

[Benny01]

Niech \(\displaystyle{ f:R[x]_2 \rightarrow R[x]_2}\) będzie odwzorowaniem takim, że \(\displaystyle{ (f(w))(x)=(x^2+x+1)w(-1)-w(x)}\) dla \(\displaystyle{ w \in R[x]_2}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem liniowym.

Mam pokazać, że \(\displaystyle{ (f(w))( \alpha x+ \beta y)= \alpha (f(w))(x)+ \beta (f(w))(x)}\)? Coś mi nie pasują te złożenia.

[AloneAngel]

Wzór wygląda tak \(\displaystyle{ f(w(x)) = (x^2+x+1) \cdot w(-1) - w(x)}\).
Musisz pokazać, że \(\displaystyle{ f( \alpha p(x) + \beta q(x) ) = \alpha f(p(x)) + \beta f(q(x))}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q}\) są wielomianami. Bo Twoimi argumentami w tej przestrzeni będą wielomiany.

[Benny01]

Okej, bo tamten zapis był dla mnie trochę dziwny.
\(\displaystyle{ f( \alpha p(x)+ \beta q(x))=(x^2+x+1) \cdot (\alpha p(-1)+ \beta q(-1))-\alpha p(x)- \beta q(x)=}\)=\(\displaystyle{ \alpha ((x^2+x+1)p(-1)-p(x))+ \beta ((x^2+x+1)q(-1)-q(x))}\)

Dalej mam znaleźć jądro oraz obraz odwzorowania.
\(\displaystyle{ w(x)=ax^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ w(-1)=a-b+c}\)
\(\displaystyle{ f(w(x))=-bx^2+cx^2+ax-2bx+cx+a-b=a(x+1)-b(x^2+2x+1)+c(x^2+x)}\)
Przyrównuje do wektora zerowego, aby znaleźć jądro.
\(\displaystyle{ Kerf=lin\left\{ x^2+x+1\right\}}\)
Sprawdzam liniową niezależność wektorów \(\displaystyle{ (x+1), (x^2+x+1), (x^2+x)}\) i wybieram owe do obrazu lub od razu biorę dowolne dwa, bo wiem, że wymiar obrazu jest równy 2, ponieważ \(\displaystyle{ dimimf=dimR[x]_2-dimkerf=3-1=2}\)
Nie jest monomorfizmem, ponieważ jądro nie jest trywialne. Nie jest epimorfizmem, ponieważ \(\displaystyle{ dimR[x]_2 \neq dimimf}\).

Wszystko dobrze?

[AloneAngel]

Jądro wyznaczone w porządku. Wtedy faktycznie wymiar obrazu wynosi 2, więc musisz wybrać dwa wektory do bazy. Monomorfizm okej, ponieważ wymiary \(\displaystyle{ Im(f)}\) i \(\displaystyle{ \mathbbm{R}_2 [x]}\) nie są sobie równe, więc nie ma mowy o tym, że będą takie same, zatem nie jest epimorfizm. Błędu raczej nie widzę.