Określić rząd macierzy uzupełnionej w zależności od parametru p i k.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&2&0&|2\\2&2&0&|p\\-2&-3&p&|k\\-4&-1&-3& |-2\end{bmatrix}}\)~\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&2&0&|2\\0&0&0&|p-2\\0&-1&p&|k+2\\-2&1&-3& |0\end{bmatrix}}\)
Tutaj zauważamy, że dla \(\displaystyle{ p \neq 2}\) układ jest sprzeczny. Rząd to \(\displaystyle{ 4}\)?
Dalej podstawiam \(\displaystyle{ p=2}\) i wyrzucam wiersz z zerami.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&2&0&|2\\0&-1&2&|k+2\\-2&1&-3& |0\end{bmatrix}}\)
Tutaj wystarczy, że policzę wyznacznik macierz bez kolumny wyrazów wolnych i jeśli wyjdzie on niezerowy to rząd jest równy 3 dla \(\displaystyle{ k \in R}\)?
Rząd macierzy z parametrami
-
AloneAngel
- Użytkownik
- Posty: 630
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 176 razy
Rząd macierzy z parametrami
Dlaczego uwaasz, że dla \(\displaystyle{ p \neq 2}\) rząd wynosi \(\displaystyle{ 4}\) ?
Ja bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&2&0&2\\2&2&0&p\\-2&-3&p&k\\-4&-1&-3& -2\end{bmatrix}}\)
Teraz wiersz2 - wiersz1, wiersz3 + wiersz1, wiersz4 + 2wiersz1. \
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&2&0&2\\0&0&0&p-2\\0&-1&p&k+2\\0&3&-3& 2\end{bmatrix}}\)
Znalaźliśmy już jeden liniowo niezależny wektor, więc wykreślam wiersz i kolumnę przecinające się w pozycji \(\displaystyle{ a_{11}}\) i otrzymuję macierz \(\displaystyle{ 3 x 3}\) dla której mogę np. policzyć wyznacznik, lub pobawić się w ten sam sposób.
Ja bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&2&0&2\\2&2&0&p\\-2&-3&p&k\\-4&-1&-3& -2\end{bmatrix}}\)
Teraz wiersz2 - wiersz1, wiersz3 + wiersz1, wiersz4 + 2wiersz1. \
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&2&0&2\\0&0&0&p-2\\0&-1&p&k+2\\0&3&-3& 2\end{bmatrix}}\)
Znalaźliśmy już jeden liniowo niezależny wektor, więc wykreślam wiersz i kolumnę przecinające się w pozycji \(\displaystyle{ a_{11}}\) i otrzymuję macierz \(\displaystyle{ 3 x 3}\) dla której mogę np. policzyć wyznacznik, lub pobawić się w ten sam sposób.
-
AloneAngel
- Użytkownik
- Posty: 630
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 176 razy
Rząd macierzy z parametrami
Zacząłbym od tego, że możliwe rzędy tej macierzy to \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 3}\) lub \(\displaystyle{ 4}\), ponieważ minor \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2,-3\\-4,-1\end{bmatrix}}\) jest niezerowy, zatem rząd wynosi przynajmniej \(\displaystyle{ 2}\).
Jak już zauważyłeś, dla \(\displaystyle{ p = 2}\) rząd tej macierzy wyniesie \(\displaystyle{ 3}\). Teraz musimy sprawdzić co się dzieje gdy \(\displaystyle{ p \neq 2}\).
Spójrzmy na minor \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&0&2\\0&0&p-2\\1&-3& 0\end{bmatrix}}\). Wynosi on \(\displaystyle{ -6(p-2)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ p \neq 2}\) zatem jest on zawsze niezerowy. Czyli dla \(\displaystyle{ p \neq 2}\) wiemy, że rząd tej macierzy wynosi co najmniej 3.
Teraz bym policzył albo jeden duży wyznacznik \(\displaystyle{ 4 x 4}\) z rozwinięcia Laplace'a i dowiem się kiedy ten rząd wyniesie 4, albo wszystkie minory rzędu 3. Trochę zabawy z tym jest.
W każdym razie jeżeli się nie pomyliłem to odpowiedź wychodzi taka, że dla \(\displaystyle{ p\not\in \{1,2 \}}\) rząd wynosi \(\displaystyle{ 4}\), a dla \(\displaystyle{ p \in \{ 1,2 \}}\) rząd wynosi \(\displaystyle{ 3}\) (parametr \(\displaystyle{ k}\) nie ma wpływu na rząd).
Tamtym sposobem przedstawionym przeze mnie wychodzi znacznie szybciej. ^^
Jak już zauważyłeś, dla \(\displaystyle{ p = 2}\) rząd tej macierzy wyniesie \(\displaystyle{ 3}\). Teraz musimy sprawdzić co się dzieje gdy \(\displaystyle{ p \neq 2}\).
Spójrzmy na minor \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&0&2\\0&0&p-2\\1&-3& 0\end{bmatrix}}\). Wynosi on \(\displaystyle{ -6(p-2)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ p \neq 2}\) zatem jest on zawsze niezerowy. Czyli dla \(\displaystyle{ p \neq 2}\) wiemy, że rząd tej macierzy wynosi co najmniej 3.
Teraz bym policzył albo jeden duży wyznacznik \(\displaystyle{ 4 x 4}\) z rozwinięcia Laplace'a i dowiem się kiedy ten rząd wyniesie 4, albo wszystkie minory rzędu 3. Trochę zabawy z tym jest.
W każdym razie jeżeli się nie pomyliłem to odpowiedź wychodzi taka, że dla \(\displaystyle{ p\not\in \{1,2 \}}\) rząd wynosi \(\displaystyle{ 4}\), a dla \(\displaystyle{ p \in \{ 1,2 \}}\) rząd wynosi \(\displaystyle{ 3}\) (parametr \(\displaystyle{ k}\) nie ma wpływu na rząd).
Tamtym sposobem przedstawionym przeze mnie wychodzi znacznie szybciej. ^^