Konwencja notacyjna

[PLrc]

Od dawna się zastanawiam, dlaczego relatywiści stosują konwencję polegającą na tym, że pod i nad wskaźnikami zostawiają wolne miejsce? Przykładowo piszą \(\displaystyle{ R^\alpha_{\ \beta \gamma \delta}}\) czy \(\displaystyle{ \omega ^i_{\ j}}\) (Thirring stosuje takie oznaczenie na formy koneksji). Czy z jakiegoś powodu rozróżnienie czy pierwszy jest wskaźnik górny czy dolny ma znaczenie? Przecież mnożenie tensorów jest zdefiniowane w ten sposób, że jeżeli mnożymy tensor kowariantny \(\displaystyle{ T=T_{i_1,\ldots ,i_n}e^{i_1}\otimes \ldots \otimes e^{i_k}}\) przez tensor kontrawariantny \(\displaystyle{ S=S^{i_1,\ldots,i_n} e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_n}}\) to \(\displaystyle{ T \otimes S =S \otimes T}\), w szczególności \(\displaystyle{ e^i \otimes e_j =e_j \otimes e^i}\). Żeby \(\displaystyle{ e^i \otimes e_j \neq e_j \otimes e^i}\) to mnożenie tensorów musiałoby być zdefiniowane w masakryczny sposób (np. trzeba by odróżniać tensor, który przyjmuje za argument wektor, kowektor i jeszcze raz wektor od tensora, który przyjmuje za argument wektor, wektor i kowektor.). Dlaczego Thirring pisze np. \(\displaystyle{ \omega ^i_{\ j}}\) zamiast \(\displaystyle{ \omega^i_j}\) już w ogóle nie mam pojęcia.

[AiDi]

Dla mnie notacja Thirringa po prostu ładniej wygląda Poza tym:
\(\displaystyle{ T \otimes S =S \otimes T}\)
nie jest prawdą. Takie przestrzenie można powiązać przez izomorfizm, ale nie są one równe! Pamiętaj, że tensor jest odwzorowaniem wieloliniowym i ma znaczenie co w który 'slot' wkładamy, bo nie do każdego slota wszystko da się włożyć. Dlatego notacja Thirringa jest lepsza jeśli dodatkowo rozpatrujemy zapisy typu \(\displaystyle{ R(v,\alpha,\beta,\gamma)}\), gdzie \(\displaystyle{ v\in V}\), oraz \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma\in V^*}\). Wtedy wiemy, że wektory możemy wkładać w slot pierwszy, a nie np. trzeci.

(np. trzeba by odróżniać tensor, który przyjmuje za argument wektor, kowektor i jeszcze raz wektor od tensora, który przyjmuje za argument wektor, wektor i kowektor.)

Ale przecież takie rozróżnienie naturalnie istnieje. Fakt, że takie tensory można utożsamić przez izomorfizm (jak pisałem wyżej) to inna sprawa, ale ściśle rzecz biorąc nie są to dokładnie te same tensory. Iloczyn tensorowy nie jest normalnie przemienny, to akurat podstawowy algebraiczny fakt

[PLrc]

Dla mnie notacja Thirringa po prostu ładniej wygląda

Owszem, taka notacja bardzo ładnie wygląda.

Poza tym:
\(\displaystyle{ T \otimes S =S \otimes T}\)
nie jest prawdą. Takie przestrzenie można powiązać przez izomorfizm, ale nie są one równe! Pamiętaj, że tensor jest odwzorowaniem wieloliniowym i ma znaczenie co w który 'slot' wkładamy, bo nie do każdego slota wszystko da się włożyć.

Czyli definiujesz mnożenie tensorów ten sposób, że np. wynikiem mnożenia tensora: \(\displaystyle{ T:\ V \times V^* \to \mathbb{R}}\) razy tensor \(\displaystyle{ S: V\times V^* \to \mathbb{R}}\) jest: \(\displaystyle{ T\otimes S:\ V \times V^* \times V \times V^* \to \mathbb{R}}\)? Wtedy faktycznie w ogólności \(\displaystyle{ T \otimes S \neq S\otimes T}\), ale wtedy mnożenie tensorów to jest jakiś koszmarek. Trzeba np. odróżniać tensory \(\displaystyle{ T:\ V\times V^* \to \mathbb{R}}\) od tensorów \(\displaystyle{ T: \ V^* \times V \to \mathbb{R}}\). Po co? W Geometrii rozmaitości Riemanna Macieja Skwarczyńskiego znalazłem taką definicję mnożenia tensorów, że \(\displaystyle{ T \otimes S =S \otimes T}\).

[AiDi]

ale wtedy mnożenie tensorów to jest jakiś koszmarek

Ale dlaczego? Iloczyn tensorowy nie jest przemienny tak po prostu, ale mamy do dyspozycji wygodne izomorfizmy \(\displaystyle{ T\otimes S\cong S\otimes T}\) i mając je w głowie możemy sobie zapomnieć o nieprzemienności. Ale najpierw trzeba je mieć zapisane w głowie

EDIT. Generalnie to pomyliłem iloczyn tensorowy tensorów (odwzorowań) z iloczynem tensorowym przestrzeni wektorowych. Tak czy inaczej powyższe jest w jakiś sposób w mocy, mówię to po sprawdzeniu w 2 tomie Algebry Kostrikina Tam definiuje on to w następujący sposób:
\(\displaystyle{ (f\otimes g)(v, w)=f(v)g(w)}\)
więc jeśli \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są tensorami różnych typów to mnożenie to nie jest przemienne. Jest to w sumie jedyna definicja, którą w swoim życiu spotkałem, więc ciekaw jestem tej drugiej.
Swoją drogą zwróć uwagę, że iloczyn tensorowy nie musi dotyczyć tylko jednej i tej samej przestrzeni, można mnożyć kilka różnych, wtedy te "ładne" definicje przestają być ładne Tensory jako takie to działka algebry, więc ogólnomatematycznych definicji szukałbym najpierw tam.

Czyli definiujesz mnożenie tensorów ten sposób, że np.(...)ale wtedy mnożenie tensorów to jest jakiś koszmarek.

Jak wyżej napisałem, jest to jedyna definicja jaką przez lata spotkałem. Poza tym (też jak wyżej) nie wiem czemu miałbym to uważać za koszmarek Podchodząc do tego ściśle formalnie to \(\displaystyle{ A\times B}\) nie jest tym samym co \(\displaystyle{ B\times A}\), ale można je ze sobą w odpowiedni sposób powiązać, co oczywiście ułatwia wszystko. Still, nie są to te same zbiory.

[PLrc]

ale wtedy mnożenie tensorów to jest jakiś koszmarek

Ale dlaczego? Iloczyn tensorowy nie jest przemienny tak po prostu, ale mamy do dyspozycji wygodne izomorfizmy \(\displaystyle{ T\otimes S\cong S\otimes T}\) i mając je w głowie możemy sobie zapomnieć o nieprzemienności. Ale najpierw trzeba je mieć zapisane w głowie

Ja wiem, że matematycznie funkcje \(\displaystyle{ T: \ V\times V^* \to \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ T: \ V^* \times V \to \mathbb{R}}\) to są różne funkcje, ale nie rozumiem, po co oprócz tensorów:
\(\displaystyle{ T:\ \underbrace{V\times \ldots \times V}_n \times \underbrace{ V^*\times \ldots V^*}_k \to \mathbb{R}}\) dopuszczamy jeszcze możliwość istnienia tensorów np.
\(\displaystyle{ T:\ \underbrace{V\times \ldots \times V}_{n-2} \times V^*\times V^* \times V^*\times V \times V \times \underbrace{ V^*\times \ldots V^*}_{k-3} \to \mathbb{R}}\) i innych potworkowatych "kombinacji". Przecież wtedy nawet nie możemy napisać "tensor typu \(\displaystyle{ (n,k)}\)" bo nie bardzo wiadomo co to znaczy. Czy nie lepiej jest przyjąć definicję, że tensor to jest zawsze odwzorowanie typu:
\(\displaystyle{ T:\ \underbrace{V\times \ldots \times V}_n \times \underbrace{ V^*\times \ldots V^*}_k \to \mathbb{R}}\) (że przestrzenie liniowe w dziedzinie są uporządkowane)? Nawet Thirring tak pisze. I jak pisze ogólne pole tensorowe to pisze sobie

\(\displaystyle{ T=T^{i_1,\ldots,i_k} _{j_1,\ldots,j_n} \partial _{i_1} \otimes \ldots \otimes \partial _{i_k}\otimes dx^{j_1}\otimes \ldots \otimes dx^{j_n}}\)

Dopiero jak przechodzi do relatywistki to zaczyna szaleć i pisać np.

\(\displaystyle{ R^{\gamma\ \ \sigma}_{\ \sigma \gamma }}\)

AU

694.png (43.83 KiB) Przejrzano 185 razy

Czy takie rozróżnienie na np. tensory \(\displaystyle{ T: \ V\times V^* \to \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ T: \ V^* \times V \to \mathbb{R}}\) jest potrzebne gdzieś w fizyce?

[AiDi]

Dopuszczamy z przyczyn formalnych, przy czym tylko i wyłącznie w przypadku iloczynów tensorowych tensorów. Jak nie jesteś takim purystą jak ja, to możesz o tym zapomnieć A w fizyce AFAIK rozróżnienie potrzebne nie jest.