Przestrzen unitarna, wynikanie

[matinf]

Witam,
mamy przestrzeń unitarną \(\displaystyle{ (X,\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle )}\). Mamy wektor tej przestrzeni \(\displaystyle{ 0\neq x\in X}\) natomiast \(\displaystyle{ y}\) jest rzutem \(\displaystyle{ x}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ V \subset X}\). Wówczas:

a. zawsze \(\displaystyle{ y\neq 0}\)
b. \(\displaystyle{ ||x|| \ge ||y||}\)
c. \(\displaystyle{ ||x|| = ||y||}\) wtw \(\displaystyle{ x=y}\)

a. jest nieprawdą.
Weźmiemy przestrzeń z baza kanoniczną \(\displaystyle{ ([0,1], [1,0])}\).
Rzucimy wektor \(\displaystyle{ [1,0]}\) prostopadle na podprzestrzeń \(\displaystyle{ span([0,1])}\)
Dostaniemy wektor: \(\displaystyle{ [0,0]}\) - a jednak, wektor zerowy.

Nie potrafię się zabrać za b. c. Myślałem chwilę, ale z tego nic.

[Peter Zof]

Zakładam, że \(\displaystyle{ X}\) jest skończenie wymiarowa. Niech \(\displaystyle{ e_1,\dots,e_{\dim(V)}}\) będzie bazą ortonormalną podprzestrzeni V i uzupełnijmy te wektory do bazy ortonormalnej całej przestrzeni \(\displaystyle{ e_1,\dots,e_{\dim(V)},\dots,e_{\dim(X)}}\). Dalej przyjmuję, że \(\displaystyle{ n=\dim(V)}\) oraz \(\displaystyle{ m=\dim(X)}\). Wtedy \(\displaystyle{ x= \sum_{i=1}^{m}\left\langle x,e_i\right\rangle e_i}\) oraz \(\displaystyle{ \mathcal{P}_V(x)=y= \sum_{i=1}^{n} \left\langle x,e_i\right\rangle e_i}\). Dalej wiemy, że \(\displaystyle{ ||x||^2= \sum_{i=1}^{m} |\left\langle x,e_i\right\rangle|^2}\) oraz \(\displaystyle{ ||y||^2= \sum_{i=1}^{n} |\left\langle x,e_i\right\rangle|^2}\), stąd \(\displaystyle{ ||y|| \leq ||x||}\).

Intuicyjnie: rzucając wektor z przestrzeni \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej na podprzestrzeń \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową \(\displaystyle{ k \leq n}\) zapominasz w pewnym sensie o jego \(\displaystyle{ n-k}\) współrzędnych, a dokładnie zerujesz je.

[matinf]

No dobra, niech przeanalizuję to co napisałeś.

\(\displaystyle{ x= \sum_{i=1}^{m}\left\langle x,e_i\right\rangle e_i}\)
To zachodzi zdaje się tylko wtedy, gdy iloczyn skalarny jest standardowy - ok, niech będzie, przyjmijmy to.

\(\displaystyle{ ||x||^2= \sum_{i=1}^{m} |\left\langle x,e_i\right\rangle|^2}\)
Zgoda, równie dobrze jest to:
\(\displaystyle{ ||x||^2=[x_1^2, x_2^2, ..., x_m^2]}\)

Ale zgoda,
\(\displaystyle{ ||x||^2 \ge ||y||^2 \Rightarrow ||x|| \ge ||y||}\)
Czyli b. jest prawda.

A teraz:
c. \(\displaystyle{ ||x|| = ||y||}\) wtw \(\displaystyle{ x=y}\)
Z prawa na lewo nie ma o czym mówić.
Z lewa na prawo: \(\displaystyle{ y}\) jest rzutem \(\displaystyle{ x}\) oraz ich długości są równe. Tak jak mi powiedziałeś. Rzutujemy, tracimy część współrzędnych. Reszta współrzędnych zostaje bez zmian. Jeśli zzrzutowaliśmy i mamy równe długości to oznacza to, że nie straciliśmy żadnej współrzędnej, czyli wektory są równe. W szczególności, rzutowanie odbyło się na tą samą przestrzeń (a nie podprzestrzeń).

c. prawda.


Ok ?

[Peter Zof]

No dobra, niech przeanalizuję to co napisałeś.

\(\displaystyle{ x= \sum_{i=1}^{m}\left\langle x,e_i\right\rangle e_i}\)
To zachodzi zdaje się tylko wtedy, gdy iloczyn skalarny jest standardowy - ok, niech będzie, przyjmijmy to.

Nie. Jeśli \(\displaystyle{ e_1,\dots,e_n}\) jest bazą ortonormalną przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\) i \(\displaystyle{ \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle \colon \mathcal{V} \times \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{F}}\) jest dowolnym iloczynem skalarnym to dowolny \(\displaystyle{ v \in \mathcal{V}}\) zapisuje się jako \(\displaystyle{ v=\left\langle v,e_1\right\rangle e_1 + \dots + \left\langle v,e_n\right\rangle e_n}\)

Dowód. Skoro \(\displaystyle{ e_1,\dots,e_n}\) jest bazą \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\) to istnieją \(\displaystyle{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \in \mathcal{V}}\) takie, że \(\displaystyle{ v= \sum_{i=1}^{n}\alpha_i e_i}\). Na obie strony tego równania zastosujmy operację \(\displaystyle{ \left\langle \cdot ,e_j\right\rangle}\). Wtedy korzystąc z tego, że jest to baza ortonormalna otrzymasz, że \(\displaystyle{ \left\langle v,e_j\right\rangle = \alpha_j}\).

(c) moim zdaniem masz ok

[matinf]

No dobra, niech przeanalizuję to co napisałeś.

\(\displaystyle{ x= \sum_{i=1}^{m}\left\langle x,e_i\right\rangle e_i}\)
To zachodzi zdaje się tylko wtedy, gdy iloczyn skalarny jest standardowy - ok, niech będzie, przyjmijmy to.

Nie. Jeśli \(\displaystyle{ e_1,\dots,e_n}\) jest bazą ortonormalną przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\) i \(\displaystyle{ \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle \colon \mathcal{V} \times \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{F}}\) jest dowolnym iloczynem skalarnym to dowolny \(\displaystyle{ v \in \mathcal{V}}\) zapisuje się jako \(\displaystyle{ v=\left\langle v,e_1\right\rangle e_1 + \dots + \left\langle v,e_n\right\rangle e_n}\)

O tym chyba można myśleć chyba też tak:
Mamy wektor \(\displaystyle{ v}\) przestrzeni \(\displaystyle{ X}\). Jeśli rzucimy go na tą samą przestrzeń ortogonalnie, to dostaniemy ten sam wektor, mianowicie:
\(\displaystyle{ v= \sum_{i=1}^{\dim(X)}\left\langle v,e_i\right\rangle e_i}\).
Krótko mówiąc, skorzystałem ze wzoru na rzut ortogonalny i w ten sposób uzasadniam Twój wzór.

Podsumowując, to jaki dostaniemy rzut zależy od bazy przestrzeni, którą weźmiemy - byle była ortonormalna. Takich baz może być dużo (czyli ten sam wektor rzucany na tą samą podprzestrzeń może być różny (po rzucie) - w zależności od wybranej bazy).. Co więcej, jak rzutujemy na podprzestrzeń, to możemy z bazy CAŁEJ przestrzeni wybrać "podbazę", tak żeby rozpiąć podprzestrzeń na, którą rzucamy - wtedy zobaczymy własności z których tak mocno korzystaliśmy. Prawda ?

[Peter Zof]

Podsumowując, to jaki dostaniemy rzut zależy od bazy przestrzeni, którą weźmiemy - byle była ortonormalna.

Nie, zawsze dostaniesz ten sam wektor, jednak jeśli wybierzesz inną bazę podprzestrzeni na którą rzutujesz to nie będziesz mieć tak prostej formuły pozwalającej Ci ten rzut (a dokładnie moduł rzutu) wyliczyć.

Myślę, że warto abyś jeszcze raz przyjrzał sie definicji rzutu ortogonalnego.

Def. Niech \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) będzie skończenie wymiarową podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\). Rzutem ortogonalnym \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\) na \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) nazywamy operator \(\displaystyle{ \mathcal{P}_{\mathcal{U}} \in Hom(\mathcal{V},\mathcal{V})}\) zdefiniowany w następujący sposób: wiadomo, że \(\displaystyle{ v \in \mathcal{V}}\) możemy w sposób jednoznaczny zapisać jako \(\displaystyle{ v=u+w}\), gdzie \(\displaystyle{ u \in \mathcal{U}}\) oraz \(\displaystyle{ w \in \mathcal{U}^{\perp}}\). Kładziemy \(\displaystyle{ \mathcal{P}_{\mathcal{U}}(v)=u}\).

Jednoznaczność zapisu wynika, z tego, że jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\) to wtedy \(\displaystyle{ \mathcal{V}=\mathcal{U} \oplus \mathcal{U}^{\perp}}\).

Jak widzisz pojęcie rzutu ortogonalnego wektora na podprzestrzeń nie zależy od wybranej bazy podprzestrzeni.

[matinf]

Podsumowując, to jaki dostaniemy rzut zależy od bazy przestrzeni, którą weźmiemy - byle była ortonormalna.

Nie, zawsze dostaniesz ten sam wektor, jednak jeśli wybierzesz inną bazę podprzestrzeni na którą rzutujesz to nie będziesz mieć tak prostej formuły pozwalającej Ci ten rzut (a dokładnie moduł rzutu) wyliczyć.

Myślę, że warto abyś jeszcze raz przyjrzał sie definicji rzutu ortogonalnego.

Def. Niech \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) będzie skończenie wymiarową podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\). Rzutem ortogonalnym \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\) na \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) nazywamy operator \(\displaystyle{ \mathcal{P}_{\mathcal{U}} \in Hom(\mathcal{V},\mathcal{V})}\) zdefiniowany w następujący sposób: wiadomo, że \(\displaystyle{ v \in \mathcal{V}}\) możemy w sposób jednoznaczny zapisać jako \(\displaystyle{ v=u+w}\), gdzie \(\displaystyle{ u \in \mathcal{U}}\) oraz \(\displaystyle{ w \in \mathcal{U}^{\perp}}\). Kładziemy \(\displaystyle{ \mathcal{P}_{\mathcal{U}}(v)=u}\).

Jednoznaczność zapisu wynika, z tego, że jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\) to wtedy \(\displaystyle{ \mathcal{V}=\mathcal{U} \oplus \mathcal{U}^{\perp}}\).

Jak widzisz pojęcie rzutu ortogonalnego wektora na podprzestrzeń nie zależy od wybranej bazy podprzestrzeni.

Wszystko dobrze, ale ja patrzę na wzór na rzut:
\(\displaystyle{ P_V(x) = \sum_{i=1}^{m}\left\langle x,e_i\right\rangle e_i}\)
Wektory \(\displaystyle{ e_1,...,e_m}\) to baza ortonormalna podprzestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Jak widzisz we wzorze na rzut wektory bazy występują. Jeśli wezmę inną bazę ortonormalną, to dostanę inną wartość (inny wektor(czyli rzut)).

Chwyt, który stosowałeś to brałeś bazę ortonormalną całej przestrzeni. Potem ucinałeś kilka wektorów tej bazy i miałeś podprzestrzeń ortonormalną podprzestrzeni. Obie bazy były "bardzo podobne". Dzięki temu "podobieństwu" wykazaliśmy nierówność. Dobrze ten chwyt łapię ? Wciąż te iloczyny skalarne nie są aż tak jasne, mimo, że nie poruszam ciężkich kwestii.

[AiDi]

Dlaczego inną wartość? Inna baza=inne współrzędne wektora, owszem, ale wciąż będzie to ten sam wektor. Wektory jako byty abstrakcyjne nie zależą przecież od bazy...

[matinf]

Jasne, że nie zależą od bazy. Ale w tym wzorze na rzut ortogonalny uwzględniamy bazę ortonormalną.

[AiDi]

No to skoro od bazy nie zależą to czemu piszesz:

Jeśli wezmę inną bazę ortonormalną, to dostanę inną wartość (inny wektor(czyli rzut)).

?
\(\displaystyle{ P_V(x)}\) zawsze będzie ten sam, niezależnie jaką bazę w \(\displaystyle{ V}\) weźmiesz. Dla dwóch różnych baz ortonormalnych w \(\displaystyle{ V}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ P_V(x) = \sum_{i=1}^{m}\left\langle x,e_i\right\rangle e_i=\sum_{i=1}^{m}\left\langle x,e_i'\right\rangle e_i'}\),
czyli inna baza = inne współczynniki rozkładu, ale wektor (czyli rzut) jest ten sam, co udowodnił wyżej Peter Zof. A powyższy wzór to najzwyklejszy w świecie rozkład wektora \(\displaystyle{ P_V(x)}\) w bazie \(\displaystyle{ e_i}\), czy \(\displaystyle{ e_i'}\).
Zresztą podobnie macierze przekształceń liniowych zależą od baz w przestrzeniach, ale wcale nie oznacza to, że jak zmienimy bazy to otrzymamy inne przekształcenie, po prostu inna będzie macierz.

[matinf]

No ok, rozumiem już chyba