suma prosta i algebraiczna

[matinf]

Witam,
W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X, dim(X) = 10}\) dane są dwie podprzestrzenie \(\displaystyle{ U, V}\) takie, że \(\displaystyle{ U\cap V = \{0\}.}\)Wynika z tego, że:
a. \(\displaystyle{ U+V = U\oplus V}\)
b. \(\displaystyle{ X=U \oplus V}\)
c. \(\displaystyle{ \min(\dim(U), \dim(V)) < 5}\)


Mamy, że suma jest prosta wtw gdy \(\displaystyle{ U\cap V=\{0\}}\). Mamy to w założeniu, więc a. to prawda.

Ponieważ \(\displaystyle{ \dim(W_1) + \dim(W_2) = \dim(W_1+W_2) + \dim(W_1\cap W_2)}\)
Ponieważ część wspólna ma wymiar zerowy, to b. jest prawdą.

c. Tego nie wiadomo, dlatego odpowiedź to nie.

Dobrze ?

[a4karo]

W C należy się kontrprzykład. Inaczej nie pokażesz, że odpowiedź nie brzmi "tak".

[matinf]

Trzeba wziąć takie dwie podprzestrzenie:
U=([1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,1,0,0,0,0,0])
V=([0,0,0,0,0,1,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,1,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,1])

Wówczas każda z tych przestrzeni ma wymiar równy \(\displaystyle{ 5}\)
Ich część wspólna zawiera tylko wektor zerowy, bo żaden wektor z \(\displaystyle{ U}\) nie da sie wyrazić jako kombinacja liniowa wektorów z bazy przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) i w drugą stronę to samo.


Ok ?

[a4karo]

Jasne

[matinf]

Dzięki wielkie.