Operacje na przedziałach liczbowych

[step]

Cześć,

czytam sobie o przedziałach liczbowych i zauważyłem, że w jednych materiałach przedziały można dodać tak

\(\displaystyle{ \left[ 1, 4\right] + \left[ 3, 2\right] = \left[ 4,6\right]}\)

podczas gdy w innych źródłach sumę przedziałów oblicza się tak:

\(\displaystyle{ \left\langle 1,3\right\rangle \cup \left\langle 2,5\right\rangle = \left\langle 1,5\right\rangle}\)

to czym różnią się te przedziały? Jakie mają formalne nazwy? I najważniejsze czy możecie polecić jakieś książki dotyczące właśnie przedziałów liczbowych i operacji na nich? W sieci jest sporo informacji ale wszystkie skupiają się tylko na podstawowych operacjach i to jeszcze w tych najprostszych przypadkach.

[NogaWeza]

To drugie to poprawna suma mnogościowa. To pierwsze wygląda mi bardziej na dodawanie wektorów, czyli współrzędna do współrzędnej.

[Santiago A]

Pierwszą sumę nazywa się kompleksową, żeby odróżnić od prostej, algebraicznej (\(\displaystyle{ \oplus}\)) i teoriomnogościowej unii (\(\displaystyle{ \cup}\)). Definicja nie jest skomplikowana, \(\displaystyle{ A + B = \{a + b : a \in A, b \in B\}}\). Żeby lepiej zrozumieć, czym ta operacja jest, radzę policzyć na przykład \(\displaystyle{ ([-2,-1] \cup [1, 2]) + ([-2,-1] \cup [1, 2])}\) i porównać wynik z \(\displaystyle{ 2 \cdot ([-2,-1] \cup [1, 2])}\), gdzie \(\displaystyle{ a \cdot X = \{ax : x \in X\}}\).

Uwaga. Jeżeli w pierwszej sumie mamy przedziały, a nie wektory, to poprawny wynik jest inny, gdyż \(\displaystyle{ [3, 2] = \varnothing}\).

[step]

Zgadza się Santiago A, podałem błędny przykład i dlatego źle również napisałem wynik chodzi o przedziały liczbowe
gdzie
\(\displaystyle{ a \le b}\)
więc poprawnie powinno być tak

\(\displaystyle{ \left[ 1, 4\right] + \left[ 2, 3\right] = \left[ 3,7\right]}\)

A tą pierwszą opcję dodawania przedziałów liczbowych znalazłem pod hasłem "integers intervals". Ale dalej nie wiem jak mam to interpretować, jeżeli mam dodać dwa przedziały składające się z liczb całkowitych to którą wersję mam stosować? To powinno być zawsze jakoś wyszczególnione np "Oblicz sumę kompleksową przedziałów liczbowych..." lub "Oblicz sumę algebraiczną przedzialów liczbowych..."?

Do pierwszej wersji na wiki jest taki wzór na dodawanie przedziałów:

\(\displaystyle{ \left[ x_{1}, x_{2} \right] + \left[ y_{1}, y_{2} \right] = \left[ x_{1} + y_{1}, x_{2}+ y_{2} \right]}\)

[Santiago A]

Przedział, który składa się z samych liczb całkowitych, jest albo jednoelementowy (na przykład \(\displaystyle{ [5,5] = \{5\}}\)), albo pusty. W teorii mnogości używa się tylko \(\displaystyle{ \cup}\), \(\displaystyle{ \oplus}\) pojawia się w algebrze (dla przestrzeni liniowych albo przynajmniej grup) i topologii, natomiast suma kompleksowa praktycznie nie ma zastosowań (może trochę w teorii liczb?).

Zauważ, że w podobny sposób dają się określić inne działania, na przykład mnożenie. Dokładniej, niech \(\displaystyle{ \star}\) będzie dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem lub dzieleniem. Wtedy \(\displaystyle{ [a, b] \star [c, d] = [\min X, \max X]}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) to zbiór \(\displaystyle{ \{a \star c,a \star d,b \star c,b \star d\}}\) (o ile przedział \(\displaystyle{ [c,d]}\) nie zawiera zera).

[step]

Przedział, który składa się z samych liczb całkowitych, jest albo jednoelementowy (na przykład [5,5] = {5}), albo pusty.

Dlaczego tak? Przecież takich przedziałów jest nieskończenie wiele np [-15,256], [-5,5], [0,10] itd.

[AloneAngel]

Ale do każdego z tych przedziałów należy każda liczba, nie tylko całkowite. Np. w podanych przez Ciebie przedziałach znajduje się liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), która całkowitą być nie chce.

[step]

No tak ale to nie wystarczy określić sobie formalnie wzorem że chodzi mi o przedział składający się tylko z liczb całkowitych? I wtedy mam przedział

\(\displaystyle{ \left[ -2,2\right] = \left\{ -2,-1,0,1,2\right\}}\)

Czy znacie jakieś dobre książki materiały, które wyczerpująco opisują temat przedziałów liczbowych? Bo to co ja znalazłem opisywało proste przypadki natomiast brakowało takich rzeczy jak np operacje na przedziałach rozłącznych np suma dwóch przedziałów rozłącznych, czy można zsumować przedziały gdy nie zawierają części wspólnej ale " dają ciągłość" przedziału np

\(\displaystyle{ \left\langle 2,5\right) + \left\langle 5, 9\right\rangle}\)

i wiele innych kwestii dotyczących operacji na przedziałach liczbowych.

[Kaf]

To jest przedział w zbiorze częściowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \ZZ , \le\right)}\)