wartości własne macierzy a Cayley-Hamilton

[Zelazny]

Wartości własne macierzy. Czy jest prosty sposób, żeby udowodnić albo przynajmniej "zauważyć" \(\displaystyle{ (A- \lambda_{2}I)(A- \lambda_{1}I)=0}\) nie korzystając z twierdzenia Cayley'a-Hamiltona?

[a4karo]

A jakies dodatkowe załozenia do tego? Bo na ogół to nie jest prawdą.

[Zelazny]

Jedyne zalozenie to ze macierze sa kwadratowe. Nie jest konieczne przyjecie, ze mozna je zdiagonalizowac.

[a4karo]

No i chyba \(\displaystyle{ 2\times 2}\).

Pomysł taki: Dla \(\displaystyle{ i=1,2}\) bierzemy wektory własne \(\displaystyle{ v_i}\) odpowiadające wartościom własnym.
te wektory tworzą bazę. Odwzorowanie \(\displaystyle{ A-\lambda_iI}\) "zapomina" o składniku \(\displaystyle{ v_i}\).

Oblicz \(\displaystyle{ (A-\lambda_1I)(A-\lambda_2 I)(av_1+bv_2)}\)