Stwierdzenie w książce - przekształcenie liniowe i baza

[matinf]

Witam,
w książce mam taki oto zapis:
Jeśli wektory \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3, v_4}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) to ich obrazy \(\displaystyle{ \phi(v_1),\phi(v_2),\phi(v_3),\phi(v_4)}\) rozpinają podprzestrzeń \(\displaystyle{ \im \phi}\). .

W ogóle nie widzę dlaczego tak miałoby być. Możecie to wyjaśnić ?

[Santiago A]

Nie podprzestrzeń \(\displaystyle{ \phi}\), tylko obraz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \phi \colon \mathbb R^4 \to V}\). Uzasadnienie tego faktu jest istotnie dość elementarne.

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \textrm{Im } \phi = \{y \in V : (\exists x \in \mathbb R^4) (\phi(x) =y)\} = \{\phi(x) : x \in \mathbb R^4\}}\). Każdy wektor \(\displaystyle{ x \in \mathbb R^4}\) jest pewną kombinacją wektorów bazowych, zatem ten zbiór daje się zapisać inaczej:

\(\displaystyle{ \{\phi(\sum_{k=1}^4 \lambda_k v_k) : \lambda_k \in \mathbb R\} = \{\sum_{k=1}^4 \lambda_k \phi (v_k) : \lambda_k \in \mathbb R\}}\). To chyba rozwiewa wszelkie wątpliwości.

[matinf]

Nie podprzestrzeń \(\displaystyle{ \phi}\), tylko obraz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \phi \colon \mathbb R^4 \to V}\). Uzasadnienie tego faktu jest istotnie dość elementarne.

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \textrm{Im } \phi = \{y \in V : (\exists x \in \mathbb R^4) (\phi(x) =y)\} = \{\phi(x) : x \in \mathbb R^4\}}\). Każdy wektor \(\displaystyle{ x \in \mathbb R^4}\) jest pewną kombinacją wektorów bazowych, zatem ten zbiór daje się zapisać inaczej:

\(\displaystyle{ \{\phi(\sum_{k=1}^4 \lambda_k v_k) : \lambda_k \in \mathbb R\} = \{\sum_{k=1}^4 \lambda_k \phi (v_k) : \lambda_k \in
\mathbb R\}}\). To chyba rozwiewa wszelkie wątpliwości.

Ta równość jest dla mnie jasna, wynika to po prostu z własności przekształcenia liniowego.
Jednak dlaczego akurat wektory bazy, po przekształceniu będą rozpinać obraz ?
Czyżby chodziło o to, że prawa strona zapisanej przez Ciebie równości pokazywała, że każdy wektor w przestrzeni obrazu jest kombinacją liniową wektorów otrzymanych poprzez przekształcenie wektorow bazowych ?

[a4karo]

Zauważ jednak, że obrazy bazy nie musza być bazą obrazu.

[matinf]

Zauważ jednak, że obrazy bazy nie musza być bazą obrazu.

Tak widzę, to
czyli wniosek jest po prostu taki, że są bazą, ale pewnej podprzestrzeni przeciwdziedziny przekształcenia liniowego. W szczególności może okazać się czasem, że są bazą całej przeciwdziedziny. Hmm ?

[Santiago A]

Nie, nie taki. Spójrz na swoje ulubione odwzorowanie \(\displaystyle{ \mathbb R^n \to \mathbb R^m}\) dla \(\displaystyle{ n > m}\) - obrazy wektorów bazowych nie są wtedy liniowo niezależne.

[matinf]

Nie, nie taki. Spójrz na swoje ulubione odwzorowanie \(\displaystyle{ \mathbb R^n \to \mathbb R^m}\) dla \(\displaystyle{ n > m}\) - obrazy wektorów bazowych nie są wtedy liniowo niezależne.

Oczywiście, że nie są, bo mamy więcej wektorów w układzie niż wynosi wymiar przestrzeni - nie mogą wektory być liniowo niezależne w tym układzie.

W takim razie jaki wniosek ? Nie wiem do czego zmierzacie, więc powiedźcie więcej szczegółów.

[Santiago A]

Wniosek jest już jawnie sformułowany w Twoim pierwszym poście - wektory te (obrazy bazowych) rozpinają stosowną podprzestrzeń (obraz \(\displaystyle{ \phi}\)). Jeżeli \(\displaystyle{ \phi}\) jest surjekcją, to obrazem jest cała przeciwdziedzina, ale w ogólności wcale tak być nie musi. Nie wiemy też nic o ich liniowej niezależności, lecz to akurat nie dziwi - przy tak słabych założeniach trudno powiedzieć cokolwiek więcej.

[matinf]

Wniosek jest już jawnie sformułowany w Twoim pierwszym poście - wektory te (obrazy bazowych) rozpinają stosowną podprzestrzeń (obraz \(\displaystyle{ \phi}\)). Jeżeli \(\displaystyle{ \phi}\) jest surjekcją, to obrazem jest cała przeciwdziedzina, ale w ogólności wcale tak być nie musi. Nie wiemy też nic o ich liniowej niezależności, lecz to akurat nie dziwi - przy tak słabych założeniach trudno powiedzieć cokolwiek więcej.

No wszystko ok, ale dlaczego akurat tak jest dla wektorów bazowych z dziedziny ? A gdybym wziął jakiś dowolny układ wektorów z dziedziny i ich obraz - co mogę powiedzieć o przeprowadzonych wektorach ? (przeprowadzonych = po przyłożeniu przekształcenia) ? Czy one też rozpinają obraz ?
No chyba nie, bo jak ja patrzę na to:
Obraz przekształcenia to po prostu: weźmy każdy wektor i przyłóżmy do niego przekształcenie. Jeśli weźmiemy tylko wektory z bazy to i tak dzięki własnościom przekształcenia liniowego dostaniemy wystarczająco wiele wektorów, żeby rozpiąć przestrzeń obrazu, która de facto jest podprzestrzenią przeciwdziedziny. Czyli dzięki własnościom przekształcenia liniowego i dzięki temu, że wzięliśmy wektory z bazy dziedziny rozepniemy obraz (otrzymanymi wektorami w wyniku przyłożenia przekształcenia).

Teraz ok?