Krzywa stopnia drugiego

[max123321]

Dane jest równanie normalne krzywej stopnia drugiego we współrzędnych kartezjańskich:
\(\displaystyle{ 3x ^{2}+2xy+3y ^{2}-2 \sqrt{2}x+2 \sqrt{2}y+1=0}\)
a)Zapisać równanie krzywej stopnia drugiego w postaci macierzowej.
b) Zbadać czy krzywa jest niezdegenerowana.
c)Określić rodzaj krzywej badając minory główne.

[octahedron]

\(\displaystyle{ a)\,\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}3&&1&&-\sqrt{2}\\1&&3&&\sqrt{2}\\-\sqrt{2}&&\sqrt{2}&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}=0\\\\

b)\,\det\begin{bmatrix}3&&1&&-\sqrt{2}\\1&&3&&\sqrt{2}\\-\sqrt{2}&&\sqrt{2}&&1\end{bmatrix}=-8\ne 0\quad\Rightarrow\quad\text{niezdegenerowana}\\\\

c)\,\det\begin{bmatrix}3&&1\\1&&3\end{bmatrix}=8>0\quad\Rightarrow\quad\text{elipsa}}\)

[max123321]

punkty a) i b) raczej rozumiem, jednak przy c) to jak widzę badamy minor główny i jeśli większy od zera to elipsa,a co w pozostałych przypadkach?

[octahedron]

Jeśli \(\displaystyle{ =0}\) parabola, jeśli \(\displaystyle{ <0}\) hiperbola.