Względne położenie punktów, prostych i płaszczyzn

[max123321]

Płaszczyzna \(\displaystyle{ S}\) zawiera dwa punkty \(\displaystyle{ A\left( 1,-1,1\right) ,B\left( 2,1,2\right)}\) oraz prostą przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ A}\) o wektorze kierunkowym \(\displaystyle{ v ^{T}=\left[ 1,0,2\right]}\). Prosta \(\displaystyle{ L}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ C\left( 2,0,1\right),D\left( 3,3,5\right)}\).
a) Ustalić współrzędne dodatkowego punktu \(\displaystyle{ P}\) leżącego w płaszczyźnie \(\displaystyle{ S}\).
b) Obliczyć objętość czworościanu \(\displaystyle{ ABPD}\).

[kerajs]

a)
\(\displaystyle{ \vec{AP}=\left[ 1,0,2\right]}\)
lub
\(\displaystyle{ \vec{AP}=k\left[ 1,0,2\right]}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\)
b)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{6}\left| ( \vec{AB} \times \vec{AP} )\circ \vec{AD} \right|}\)

Edit:
Tak naprawdę punktem P może być dowolny punkt płaszczyzny nie leżący na prostejAB
\(\displaystyle{ \vec{AP}=k\left[ 1,0,2\right]+l \vec{AB}}\) gdzie \(\displaystyle{ k,l \in \RR \wedge k \neq 0}\)
lub
\(\displaystyle{ \vec{BP}=k\left[ 1,0,2\right]+l \vec{AB}}\) gdzie \(\displaystyle{ k,l \in \RR \wedge k \neq 0}\)

[max123321]

Czyli w a) będzie \(\displaystyle{ P=\left( 2,-1,3\right)}\).
A skąd wziąłeś wzór na b)?

[a4karo]

Lepiej powiedz jaki związek z zadaniem ma prosta L...

[max123321]

Prosta L dotyczy innych podpunktów, które jednak raczej umiem zrobić dlatego ich nie pisałem. To co z tym wzorem?

[a4karo]

wzor znajdzesz w podręczniku lub w Internecie

[max123321]

No fajnie. W necie jest tylko \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{\delta}{288} }}\), a to tego zbytnio nie przypomina... Tamten wzór się skądś bierze. To jest jakiś iloczyn wektorowy czyli jak rozumiem liczymy podstawę czworościanu i potem jakoś tą wysokość się bierze ze skalarnego, ale nie bardzo to rozumiem. Jak to działa?

[a4karo]

Długość iloczynu wektorowego, jak zauważyłeś daje pole podstawy. Ten wektor jest do podstawy prostopadły. Iloczyn skalarny sale długość rzutu trzeciego wektora na ten prostopadły, czyli de facto wysokość prostopadloscianu. Dzielenie przez sześć jest oczywiste.

[max123321]

A no racja. Nie można było tak od razu?

[a4karo]

Można było od razu znależć to: ... n_mieszany

[max123321]

A czy nie powinno być:

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{6}\left| \vec{AB} \times \vec{AP}\right| \left| ( \vec{AB} \times \vec{AP} )\circ \vec{AD} \right|}\)

?

[kerajs]

Czworościan to ostrosłup o podstawie trójkątnej. Jego objętość to:
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P_{\Delta}h= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\left| AB\right|\left|AP \right|\sin \angle \left\{ BPA\right\} \cdot h=\\
=\frac{1}{6}\left| AB\right|\left|AP \right|\sin \angle \left\{ BPA\right\} \cdot \left[ \left| AD\right|\sin \angle\left\{ P_{\Delta}, \vec{AD} \right\} \right] =\\
=\frac{1}{6}\left| \vec{AB} \times \vec{AP} \right| \cdot \left[ \left| AD\right|\cos \angle\left\{\vec{AB} \times \vec{AP} , \vec{AD} \right\} \right] =\\
=\frac{1}{6}\left| ( \vec{AB} \times \vec{AP} )\circ \vec{AD} \right|}\)

Jeśli nadal nie jesteś przekonany to poszukaj pod hasłem ,,iloczyn mieszany wektorów'.
Przykładowy link: ... ry_ilm.pdf

[max123321]

Ale to:

\(\displaystyle{ \left| ( \vec{AB} \times \vec{AP} )\circ \vec{AD} \right|}\)

To jest najpierw iloczyn wektorowy potem skalarny ta?

[kerajs]

Tak, zgodnie z kolejnością działań. Wpierw działanie w nawiasie okrągłym. potem iloczyn skalarny, a na końcu wartość bezwzględna z uzyskanego wyniku.

PS
Wzór ten (bez \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)) jest objętością równoległościanu rozpiętego na trzech wektorach o wspólnym początku.

[max123321]

A możesz jakoś zinterpretować ten iloczyn skalarny? Bo ten wektorowy to jest jakby pole podstawy i potem nie bardzo rozumiem jak z tym skalarnym, bo skalarny to jest jakby długość rzutu tej krawędzi bocznej na ten iloczyn wektorowy. Iloczyn wektorowy jest prostopadły do podstawy więc ten iloczyn skalarny powinien dawać długość wysokości ostrosłupa dopiero. A daje już całą objętość. Albo inaczej. Jak policzyć zatem samą wysokość ostrosłupa?