Przekształcenie liniowe - wektory i wartości własne

[legolas]

Znaleźć wszystkie wartości i wektory własne przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi:\RR^3\to\RR^3}\), dla którego:
\(\displaystyle{ \varphi((1,2,2))=(0,2,2), \varphi((0,2,2))=(1,2,2), \varphi((3,1,0))=(3,4,2)}\)

No i na początek liczę sobie

\(\displaystyle{ \varphi((1,0,0))=\varphi((1,2,2))-\varphi((0,2,2))=(-1,0,0)}\)

Następnie

\(\displaystyle{ \varphi((0,1,0))=\varphi((3,1,0))-3\varphi((1,0,0))=(6,4,2)}\)

I na koniec

\(\displaystyle{ \varphi((0,0,1))= \frac{1}{2}\cdot \left( \varphi((0,2,2))-2\varphi((0,1,0))\right) =( -\frac{11}{2} ,-3,-1)}\)


No i tworzę tę macierz

\(\displaystyle{ M_{E_3}^{E_3}(\varphi)=\left[\begin{array}{ccc}-1&6&- \frac{11}{2} \\0&4&-3\\0&2&-1\end{array}\right]}\)

No ale wychodzę jakieś ohydne wartości przy liczeniu wartości własnych, więc albo coś skopałem, albo należy to zrobić inaczej.

[Premislav]

Skoro wychodzą okropne wartości własne, to najwyraźniej coś skopałeś.

\(\displaystyle{ \det \left[\begin{array}{ccc}-1-x&6&- \frac{11}{2} \\0&4-x&-3\\0&2&-1-x\end{array}\right]=(-1-x)^2(4-x)}\)

[legolas]

Masz absolutną rację, że coś skopałem - i nawet wiem co. Aczkolwiek Ty też skopałeś, hehe

[kalwi]

Skoro wychodzą okropne wartości własne, to najwyraźniej coś skopałeś.

\(\displaystyle{ \det \left[\begin{array}{ccc}-1-x&6&- \frac{11}{2} \\0&4-x&-3\\0&2&-1-x\end{array}\right]=(-1-x)^2(4-x)}\)

Zapomniałeś o fragmencie \(\displaystyle{ -(-1-x)(-3)\cdot2}\)

[Premislav]

Faktycznie, ale głupi błąd... Dzięki.