Macierz przekształcenia - zapis w innej bazie

[legolas]

Mamy przekształcenie: \(\displaystyle{ \varphi:\RR^3\to \RR^3}\) określone: \(\displaystyle{ \varphi((x,y,z))=(-x+2y+z,-4x+5y+2z,2x-2y)}\). I teraz mam wyznaczyć macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\) w bazie składającej się z wektorów własnych. I mam problem jak to zrobić.

Na początek:

\(\displaystyle{ A=M_{E_3}^{E_3}(\varphi)\left[\begin{array}{ccc}-1&2&1\\-4&5&2\\2&-2&0\end{array}\right]}\)

No i po wyliczeniu wielomianu charakterystycznego tej macierzy wychodzi: \(\displaystyle{ \chi_A(\lambda)=-(\lambda-2)(\lambda-1)^2}\)

No i wektory własne: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\1\\-2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\2\\5\end{array}\right]}\)

No i co teraz? Jak zapisać macierz przekształcenia w bazie składającej się z wektorów własnych? Chodzi o zapisanie 3 macierzy przekształcenia w 3 innych bazach? Bo inaczej to nie widze jak to zrobić.

[NogaWeza]

-- 3 lip 2016, o 10:37 --

Chodzi o zapisanie 3 macierzy przekształcenia w 3 innych bazach?

A jak chciałbyś zapisać macierz \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) w trzech osobnych bazach, z których każda składa się z jednego wektora?

Wektory własne są wyznaczone źle, powinno być:
\(\displaystyle{ v_1 = \left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right], v_2 = \left[\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right], v_3 = \left[\begin{array}{c}-1\\-2\\1\end{array}\right],}\)

Na to zadanie widzę prosty sposób. Jeśli mamy bazę złożoną tylko z wektorów własnych, to wiadomo oczywiście, że macierz będzie diagonalizowalna, czyli w bazie złożonej z wektorów własnych będzie miała postać diagonalną z wartościami własnymi na przekątnej.

Polecam spróbować samodzielnie, bo dużo już podpowiedziałem.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ A = P J P^{-1}}\), wobec tego \(\displaystyle{ J = P^{-1} A P}\). Macierz przejścia \(\displaystyle{ P}\) jest złożona z wektorów bazowych ustawionych kolumnami.

\(\displaystyle{ P = \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&0&-2\\0&2&1\end{array}\right] \quad P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}4&-3&-2\\-1&1&1\\2&-2&-1\end{array}\right]}\)

Pierwsze dwie kolumny macierzy przejścia to wektory odpowiadające wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\), ostatnia kolumna to wektor odpowiadający wartości \(\displaystyle{ 2}\), więc \(\displaystyle{ J = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)

Można sprawdzić, że rzeczywiście \(\displaystyle{ J = P^{-1} A P}\) więc wszystko się zgadza.

[legolas]

Rzeczywiście, wolfram pokazuje to co Ty napisałeś. Ale gdzie mam błąd?

\(\displaystyle{ \det (A-I\lambda)=\left|\begin{array}{ccc}-1-\lambda&2&1\\-4&5-\lambda&2\\2&-2&-\lambda\end{array}\right|}\)

I dla \(\displaystyle{ \lambda=1}\)

\(\displaystyle{ \det (A-I)=\left|\begin{array}{ccc}-2&2&1\\-4&4&2\\2&-2&-1\end{array}\right]}\)

No i widać, że 2 wiersze można wykreślić, więc zostaje nam

\(\displaystyle{ \left[ 2 \ -2 \ -1\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[ 2x-2y-z\right]=0}\)

Więc \(\displaystyle{ z=2x-2y}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}x\\y\\2x-2y\end{array}\right]=x \left[\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right]+y \left[\begin{array}{c}0\\1\\-2\end{array}\right]}\)

Gdzie tu jest błąd, bo za nic go nie mogę znaleźć

[NogaWeza]

No tu nie masz błędu, przecież wyszły Ci takie wektory w pierwszym poście i mi wyszły takie same. Błąd jest przy wektorze, który odpowiada wartości własnej \(\displaystyle{ 2}\)

[legolas]

Fakt, u Ciebie \(\displaystyle{ v_1-v_2}\) to to samo co u mnie \(\displaystyle{ \left[ 0,1,-2\right]}\) - stąd myślałem, że tu jest błąd. Co do kolejnego to rzeczywiście zapomniałem o minusie w jednym równaniu.

Jeśli mamy bazę złożoną tylko z wektorów własnych, to wiadomo oczywiście, że macierz będzie diagonalizowalna, czyli w bazie złożonej z wektorów własnych będzie miała postać diagonalną z wartościami własnymi na przekątnej.

Ok, wszystko już wiem, dzięki