Równanie macierzowe

[niewiiem]

Metodą macierzy odwrotnej rozwiązać równanie macierzowe
\(\displaystyle{ X\cdot A^{T}X\cdot A=B}\)
Jeżeli
\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{cc}3&1\\1&7\end{array}]}\)
\(\displaystyle{ B= \left[\begin{array}{cc}1&1\\3&1\end{array}]}\)
Proszę o pomoc spędziłem z tym zadaniem już parę godzin i dalej jestem w punkcie początkowym.

[mostostalek]

Zauważ, że \(\displaystyle{ A=A^{T}}\).. Równianie ma zatem postać:
\(\displaystyle{ X\cdot A\cdot X \cdot A=B}\)
Spróbuj za \(\displaystyle{ X \cdot A}\) podstawić inną zmienną, np \(\displaystyle{ Y}\)
Wtedy równanie przyjmie postać:
\(\displaystyle{ Y \cdot Y=B}\)
Oblicz \(\displaystyle{ Y}\) a następnie z równania \(\displaystyle{ Y=X \cdot A}\) oblicz \(\displaystyle{ X}\)..
Nie wiem czy o to dokładnie chodzi, ale nie wiem jak można to inaczej zrobić :p

[niewiiem]

A mógłbyś mi wytłumaczyć jak znajduje się rozwiązania macierzy Y^{2} ?

[hubot]

Jak już kolega wyżej wspomniał \(\displaystyle{ A^T=A}\). Zatem podstawiamy macierze w miejsce liter, czyli mamy \(\displaystyle{ X \cdot \begin{bmatrix}3 & 1 \\ 1 & 7\end{bmatrix} \cdot X \cdot \begin{bmatrix}3 & 1 \\ 1 & 7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 3 & 1\end{bmatrix}}\). Mnożymy prawostronnie macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 3 & 1\end{bmatrix}}\) przez macierz odwrotną do \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}3 & 1 \\ 1 & 7\end{bmatrix}}\) podniesioną do kwadratu czyli wyjdziemy na takie coś \(\displaystyle{ X^2=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 3 & 1\end{bmatrix}\cdot \left(\begin{bmatrix}3 & 1 \\ 1 & 7\end{bmatrix}^{-1}\right)^2}\). Liczymy wyznacznik tej macierzy (3*7-1*1) i dochodzimy do wniosku że \(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix}3 & 1 \\ 1 & 7\end{bmatrix}=20}\). Teraz liczymy macierz odwrotną: \(\displaystyle{ \frac{1}{20}\begin{bmatrix}7 & -1 \\ -1 & 3\end{bmatrix}^T=\frac{1}{20}\begin{bmatrix}7 & -1 \\ -1 & 3\end{bmatrix}}\). Po podniesieniu do kwadratu macierzy odwrotnej otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{1}{400}\begin{bmatrix}50 & -10 \\ -10 & 10\end{bmatrix}}\). Po przemnożeniu wyniku przez macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 3 & 1\end{bmatrix}}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{1}{400}\begin{bmatrix}40 & 0 \\ 140 & -20\end{bmatrix}}\). Teraz ci pozostaje znaleźć takie X, które podniesione do kwadratu da Ci tą macierz. Poczytaj o równaniach macierzowych kwadratowych. Pomogłem tyle, co umiałem.