Wykazać, ze pierścień wielomianów zmiennej rzeczywistej stopnia mniejszego równego \(\displaystyle{ n}\) jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ R}\).
Niby znam definicję, ale nie wiem jakie działania rozpatrujemy i które w jakim przypadku. Czy rozważamy zwykłe dodawanie i mnożenie w \(\displaystyle{ R}\)?
Przestrzeń liniowa
-
squared
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Przestrzeń liniowa
Wielomiany normalnie dodajemy i mnożymy, tak jak zawsze np.
\(\displaystyle{ (7x^3+2)+(3x^2+1)=7x^3+3x^2+3}\), czyli dodajemy do siebie współczynniki.
\(\displaystyle{ 2(7x^3+2)=14x^3+4}\), czyli mnożymy współczynniki wielomianu przez skalar.
Tak wygląda tu dodawanie i mnożenie.
\(\displaystyle{ (7x^3+2)+(3x^2+1)=7x^3+3x^2+3}\), czyli dodajemy do siebie współczynniki.
\(\displaystyle{ 2(7x^3+2)=14x^3+4}\), czyli mnożymy współczynniki wielomianu przez skalar.
Tak wygląda tu dodawanie i mnożenie.
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Przestrzeń liniowa
No ta, ale w definicji przestrzeni liniowej występują takie znaczki, które oznaczają jakieś działania. Skąd wiemy jakie to działania?
-
squared
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Przestrzeń liniowa
Jak dodaje się wielomiany? No tylko tak jak napisałem. Oczywiście można próbować wymyślić coś innego, ale tradycyjnie piszą "dodawanie wielomianów" lub "mnożenie wielomianów przez skalar" definiujemy tak jak napisałem.
Zatem jak wiesz przestrzeń liniowa to trójka \(\displaystyle{ (V,+,\cdot)}\) (nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)). spełniająca szczególne własności. W tym zadaniu, tym konkretnym przykładzie \(\displaystyle{ +}\) to dodawanie wielomianów (w sposób, który wytłumaczyłem), zaś \(\displaystyle{ \cdot}\) to mnożenie przez skalar w sposób, który również pokazałem. Wystarczy pokazać, że tak definiowane działania spełniają własności przestrzeni liniowej.
Zatem jak wiesz przestrzeń liniowa to trójka \(\displaystyle{ (V,+,\cdot)}\) (nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)). spełniająca szczególne własności. W tym zadaniu, tym konkretnym przykładzie \(\displaystyle{ +}\) to dodawanie wielomianów (w sposób, który wytłumaczyłem), zaś \(\displaystyle{ \cdot}\) to mnożenie przez skalar w sposób, który również pokazałem. Wystarczy pokazać, że tak definiowane działania spełniają własności przestrzeni liniowej.