wartosci,wektory wlasne + macierz do potegi

[rafaello94]

dana jest macierz \(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc}1 & -1\\ -1 & 2\end{array}\right]}\)

obliczyc wartosci i wektory wlasne macierzy oraz obliczyc \(\displaystyle{ A^{242}}\)

jezeli chodzi o wartosci wlasne oraz wektory to chcialbym jedynie sprawdzic wyniki, natomiast podnoszenie tej macierzy sprawia mi klopot. po obliczeniu \(\displaystyle{ A^{3}}\) zauwazylem jedynie zaleznosc ze wyrazy po skosie (nie na diagonali) sa zawsze takie same, jednak nie jestem w stanie zauwazyc tam zadnego schematu.
prosilbym o pomoc.

[NogaWeza]

Do podnoszenia macierzy so potęgi skorzystaj z postaci Jordana.

[rafaello94]

a moglbym prosic o rozpisanie tego na danym przykladzie? staram sie googlac na czym to polega, ale za wiele mi to nie daje.

[octahedron]

Jeśli mamy wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2}\) i odpowiadające im wektory własne \(\displaystyle{ v_1=\begin{bmatrix}v_{11}\\v_{12}\end{bmatrix},v_2=\begin{bmatrix}v_{12}\\v_{22}\end{bmatrix}}\), to wtedy:

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}v_{11}&&v_{12}\\v_{21}&&v_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_1&&0\\0&&\lambda_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{11}&&v_{12}\\v_{21}&&v_{22}\end{bmatrix}^{-1}}\)

a stąd:

\(\displaystyle{ A^{242}=\begin{bmatrix}v_{11}&&v_{12}\\v_{21}&&v_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_1^{242}&&0\\0&&\lambda_2^{242}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{11}&&v_{12}\\v_{21}&&v_{22}\end{bmatrix}^{-1}}\)