Odległość punktu od prostej

[ReallyGrid]

Generalnie to jest to jedno z zadań z algebry liniowej dlatego dałem ten wątek tutaj. Do rzeczy, mam takie zadanie:

Wykorzystując własności "standardowego" iloczynu skalarnego na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)-przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V=\mathbb{R}^3}\), oblicz odległość punktu \(\displaystyle{ A=(3,4,2)}\) od prostej wyznaczonej przez punkty \(\displaystyle{ B=(-2,1,3)}\) i \(\displaystyle{ C=(-1,2,0)}\) w przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ E^3}\).

Nie wiem co trzeba tu zrobić. Patrze w tablice matematyczne i widzę że jest kilka równań prostej w przestrzeni (parametryczne, kierunkowe, krawędziowe i inne). Ale które wykorzystać i jak do tego trzeba się zabrać krok po kroku? Nie koniecznie chodzi mi o podanie rozwiązania wraz z wynikiem do samego końca, tylko raczej tak żebym to zrozumiał o co tu chodzi i co z czego wynika.

[a4karo]

Wsk. punkt \(\displaystyle{ P(t)}\) na prostej leży najbliżej punktu \(\displaystyle{ A}\), gdy wektor \(\displaystyle{ \vec{AP(t)}}\) jest prostopadły do wektora kierunkowego prostej

[ReallyGrid]

Tak właśnie myślałem, że o to właśnie chodzi ale które równanie prostej wybrać? Później też wiem, że dzięki iloczynowi skalarnemu sprawdzę czy są te wektory prostopadłe (bo będzie wynosił on zero). Ale jak to równanie prostej napisać mając te punkty?
Czasem wystarczy pokazać jak się liczy jedno zadanie a już z podobnymi będę wiedział dalej co zrobić.

[a4karo]

Najprościej parametryczne

[ReallyGrid]

Ok to do dzieła

Skoro równanie parametryczne prostej w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) ma postać:

\(\displaystyle{ l \begin{cases}x = x_p + at\\
y = y_p + bt\\
z = z_p + ct \end{cases}}\)

Teraz po przekształceniu otrzymuję

\(\displaystyle{ l \begin{cases}\frac{x - x_p}{a} = t\\
\frac{y - y_p}{b} = t\\
\frac{z - z_p}{c} = t \end{cases}}\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{x - x_p}{a} = \frac{y - y_p}{b} = \frac{z - z_p}{c}\quad\text{dla}\quad a,b,c \neq 0.}\)

I teraz jak dalej? Jak się wylicza te \(\displaystyle{ a, b, c}\)? Rozumiem, że \(\displaystyle{ x_p, y_p, z_p}\) są współrzędnymi jednego z tych punktów w zadaniu.

[a4karo]

A wiesz czym są \(\displaystyle{ x_p,y_p,z_p,a,b,c}\) w równaniu parametrycznym?

Masz w zadaniu wszystkie dane, aby je wyznaczyć

[ReallyGrid]

Tak wiem, w tablicach jest napisane, ze \(\displaystyle{ x_p, y_p, z_p}\) to są współrzędne punktu przez który przechodzi prosta. A co do \(\displaystyle{ a, b, c}\) to jest tylko napisane, że muszą spełniać nierówność: \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 > 0}\). Gdy np. \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b \cdot c \neq 0}\), to \(\displaystyle{ l \perp OX}\), podobnie z \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\). Wiem, że tego nie rozumiem dlatego właśnie proszę o pomoc na tym forum.

Edit:
Jest tam dalej napisane, że \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\) są współrzędnymi wektora kierunkowego tej prostej. No ok ale ja mam dopiero ten wektor wyznaczyć. Czyli jeśli dobrze kojarze wektor kierunkowy jest postaci: \(\displaystyle{ \mathbf{v} = [x_q - x_p, y_q - y_p, z_q - z_p] = [a, b, c]}\) ??

Edit:
Czyli jeśli dalej dobrze myślę to będzie tak:

\(\displaystyle{ \frac{x - x_p}{x_q - x_p} = \frac{y - y_p}{y_q - y_p} = \frac{z - z_p}{z_q - z_p}}\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{x + 2}{-1 + 2} = \frac{y - 1}{2 - 1} = \frac{z - 3}{0 - 3}}\)

co daje

\(\displaystyle{ x + 2 = y - 1 = \frac{z - 3}{- 3}}\)

I teraz jak dalej?

[a4karo]

Użyj równania parametrycznego: jest najprostsze do tego zadania.
1. Napisz wektor kierunkowy prostej (już go masz, ale napisz go explicite)
2. Napisz wektor \(\displaystyle{ AP(t)}\)
3. oblicz ich iloczyn skalarny

PS. Matematyka polega głównie na myśleniu, a nie na wypisywaniu wszystkich wzorów jakie sie zna.

[ReallyGrid]

Ok, wektor kierunkowy jest postaci \(\displaystyle{ \mathbf{v} = [1, 1, -3]}\) czyli punkt 1. mam.

Możesz napisać czym jest wektor \(\displaystyle{ AP(t)}\) i jak on wygląda w tym konkretnym zadaniu? No właśnie staram się zrozumieć jak się liczy to zadanie.

[a4karo]

A co mówi równanie parametryczne? Ono właśnie opisuje wszystkie punkty na prostej

[ReallyGrid]

No tak wiem ale co mi to daje? Z tego co już obliczyłem to wiem, że równanie parametryczne prostej jest postaci:

\(\displaystyle{ l : \begin{cases}
x = -2 + t\\
y = 1 + t\\
z = 3 -3t\end{cases}}\)

a wektor kierunkowy jest postaci:

\(\displaystyle{ \mathbf{v} = [1, 1, -3]}\)

punkt, którego odległość od prostej mam wyliczyć jest postaci:

\(\displaystyle{ A = (3, 4, 2)}\)

Możesz już teraz napisać jak to wszystko poskładać w całość żeby otrzymać odpowiedź do zadania? W tym momencie nic więcej mądrego już nie wymyślę. Geometria nie jest moją dobrą stroną, podobnie jak algebra liniowa.

[a4karo]

\(\displaystyle{ P(t)=(x,y,z)}\) - weźmiesz to z postaci parametrycznej prostej.. To nie jest tylko wzorek oderwany od świata. To oznacza, że jak za \(\displaystyle{ t}\) wstawisz DOWOLNĄ liczbę rzeczywistą, to punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) (a Tak naprawdę \(\displaystyle{ x(t),y(t),z(t))}\)) będzie należał do tej prostej. I na odwrót, jak weźmiesz dowolny punkt \(\displaystyle{ (\alpha,\beta,\gamma)}\) na tej prostej, to znajdzie sie taka liczba rzeczywista \(\displaystyle{ t}\), że \(\displaystyle{ \alpha=x(t), \beta=y(t), \gamma=z(t)}\).

[ReallyGrid]

Czyli

\(\displaystyle{ P(t) = [-2+t, 1+t, 3-3t] \quad \text{dla } t \in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ AP(t) = [-2+t - 3, 1+t - 4, 3-3t - 2] = [-5+t, -3+t, 1-3t] \quad \text{dla } t \in \mathbb{R}}\)

A teraz jak dokończyć zadanie? Czuje że jesteśmy już przy końcu. Teraz został jeszcze ten iloczyn skalarny do wykorzystania czy tak?

[a4karo]

Przeczytaj mój pierwszy post

[ReallyGrid]

Ok, czyli jeśli cię dobrze zrozumiałem muszę teraz obliczyć iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ \vec{AP(t)}}\) oraz kierunkowego prostej:

Wektor

\(\displaystyle{ AP(t) = [-5+t, -3+t, 1-3t]}\)

Wektor kierunkowy

\(\displaystyle{ \mathbf{v} = [1, 1, -3]}\)

Zatem iloczyn skalarny

\(\displaystyle{ AP(t) \cdot \mathbf{v} = (-5+t) + (-3+t) + (-3)(1-3t) = -11 + 11t = 0 \Rightarrow t=1}\)

Teraz odległość wektora \(\displaystyle{ AP(1)}\):

\(\displaystyle{ AP(1) = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}}\)

Myślałem że wyjdzie liczna naturalna a nie niewymierna. Taka jest odpowiedź \(\displaystyle{ 2\sqrt{6}}\)? Z takim pierwiastkiem? Czy gdzieś się pomyliłem?