Podprzestrzeń liniowa

[legolas]

Krótkie pytanko, czy wektor

\(\displaystyle{ V=\left\{ \left( x,y,z\right):x+y+z=3 \right\}}\)

jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\)?

Bo jak sobie weźmiemy \(\displaystyle{ x=3-y-z}\) i stąd \(\displaystyle{ \left( 3-y-z,y,z\right)}\)

To wtedy nie będzie elementu zerowego, tj. \(\displaystyle{ (0,0,0)}\), więc nie będzie podprzestrzenią.
Dobrze?

[Premislav]

Trochę niezgrabne jest dla mnie to uzasadnienie (dziwnie opisane), ale istotnie nie jest to podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ \RR^3}\) i rzeczywiście wystarczy pokazać, że wektor \(\displaystyle{ \vec{0}}\) nie należy do tej \(\displaystyle{ V}\).
Tylko jeszcze taka drobna kwestia terminologiczna:

Krótkie pytanko, czy wektor

\(\displaystyle{ V=\left\{ \left( x,y,z\right):x+y+z=3 \right\}}\)

To nie jest wektor, lecz pewna płaszczyzna w \(\displaystyle{ \RR^3}\).

[legolas]

Formalizmy to nie jest mocna strona

[Santiago A]

W tytule posta pojawia się sformułowanie "podprzestrzeń liniowa", natomiast w samej treści zadania mówisz o samej podprzestrzeni, co nie jest takie dokładne, jak można byłoby sobie tego życzyć. Zbiór \(\displaystyle{ V}\) jest bowiem podprzestrzenią afiniczną.

[legolas]

W tytule posta pojawia się sformułowanie "podprzestrzeń liniowa", natomiast w samej treści zadania mówisz o samej podprzestrzeni, co nie jest takie dokładne, jak można byłoby sobie tego życzyć. Zbiór \(\displaystyle{ V}\) jest bowiem podprzestrzenią afiniczną.

Powiedz więcej na ten temat

[Santiago A]

Przestrzeń afiniczna to struktura powstała ze zwykłej przestrzeni liniowej, w której zapomniano, co jest wektorem zerowym. Świetnie jest to opisane w klasycznym podręczniku Kostrikina, ale teraz możesz się zadowolić samym artykułem z Wikipedii (

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_space

).

Podany jest tam przykład, gdzie dwie osoby, Alicja i Bob, uważają różne punkty za początek układu współrzędnych: \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ p}\). Kiedy Bob bierze kombinację wypukłą dwóch wektorów: \(\displaystyle{ \lambda a + (1-\lambda) b}\), Alicja widzi, że tak naprawdę policzył on \(\displaystyle{ p + \lambda(a - p) + (1 - \lambda)(b - p)}\), ale to jest dokładnie to samo (jak można się przekonać po prostych rachunkach).

Z formalnego punktu widzenia, przestrzeń afiniczna to para \(\displaystyle{ (A, \overrightarrow{A})}\) (gdzie \(\displaystyle{ \overrightarrow{A}}\) to przestrzeń liniowa) z działaniem \(\displaystyle{ + \colon A \times \overrightarrow{A} \to A}\), które spełnia trzy aksjomaty:

• dla każdego \(\displaystyle{ a \in A}\), \(\displaystyle{ a + 0 = a}\).
• dla każdych \(\displaystyle{ v, w \in \overrightarrow{A}}\) i \(\displaystyle{ a \in A}\), \(\displaystyle{ (a + v) + w = a + (v+w)}\) - tutaj oba plusy znaczą co innego!
• dla każdego \(\displaystyle{ a \in A}\), odwzorowanie \(\displaystyle{ \overrightarrow{A} \to A}\), \(\displaystyle{ v \mapsto a + v}\), jest bijekcją.

Ale z samym określeniem "afiniczny" spotkasz się dużo wcześniej: odwzorowanie \(\displaystyle{ f \colon V \to W}\) między przestrzeniami liniowymi nazywamy afinicznym, jeśli jest złożeniem translacji o wektor z odwzorowaniem liniowym.