Przekształcenie liniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
legolas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 320
Rejestracja: 7 cze 2016, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 146 razy
Pomógł: 3 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: legolas »

Niech \(\displaystyle{ \varphi:V\to W}\) będzie przekształceniem liniowym, \(\displaystyle{ V,W}\) - przestrzenie skończenie wymiarowe. Czy:

- Jeśli \(\displaystyle{ \dim V < \dim W}\) to \(\displaystyle{ \varphi}\) jest nieosobliwe
- Jeśli \(\displaystyle{ \dim \ker \varphi < \dim V}\) to \(\displaystyle{ r\left( \varphi\right) > 0}\) (r to rząd)
- Jeśli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest izomorfizmem, to \(\displaystyle{ \dim V=\dim W}\)

Pierwsze:
przekształcenie jest nieosobliwe, gdy jądro przekształcenia jest wektorem zerowym (czyli przekształcenie jest różnowartościowe). Czyli wtedy, gdy \(\displaystyle{ \dim \im \varphi = \dim V}\). Ale jak się ma do tego wymiar \(\displaystyle{ W}\)?

Drugie:
\(\displaystyle{ r\left( \varphi\right) =\dim \im \varphi=\dim V - \dim \ker\varphi}\) czyli prawda

Trzecie:
Jest izomorfizmem, jeśli przekształcenie jest nieosobliwe oraz jest na, czyli wtedy, gdy \(\displaystyle{ \dim \im \varphi =\dim V}\) oraz \(\displaystyle{ \im\varphi = W}\). Czyli wychodzi na to, że prawda.

Potrzebuję pomocy z pierwszym :/
M Maciejewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 318
Rejestracja: 14 maja 2016, o 16:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 90 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: M Maciejewski »

- nie, bo może być tak: \(\displaystyle{ \varphi(v)=v}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ v\in V}\).

Jest coś takiego: jeśli \(\displaystyle{ dim V > \dim W}\), to \(\displaystyle{ \varphi}\) jest osobliwe, bo wtedy jądro nie może być zerowe.
- tak
- tak
legolas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 320
Rejestracja: 7 cze 2016, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 146 razy
Pomógł: 3 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: legolas »

Żeby nie zakładać nowego tematu:
Jaki jest wymiar \(\displaystyle{ \CC\left[ z\right]}\)? Czy jest to \(\displaystyle{ 2}\)?
Oraz analogicznie, \(\displaystyle{ \CC_n\left[ z\right]}\)? \(\displaystyle{ 2n}\)?
Awatar użytkownika
Santiago A
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 248
Rejestracja: 22 sty 2016, o 20:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zaragoza
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 51 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: Santiago A »

Wymiar czego nad czym? Jeżeli masz na myśli przestrzeń wielomianów zespolonych nad \(\displaystyle{ \mathbb C}\), to ma ona przeliczalny wymiar. Wystarczy popatrzeć na bazę \(\displaystyle{ \{z^n : n \in \mathbb N\}}\).
ODPOWIEDZ