Zapisać równanie krzywej stopnia drugiego

[max123321]

Dane jest równanie krzywej stopnia drugiego we współrzędnych kartezjańskich.
\(\displaystyle{ -3x ^{2}+4xy+3y ^{2}-2 \sqrt{2} x+2 \sqrt{2} y+1=0}\)

a)Zapisać równanie krzywej stopnia drugiego w postaci macierzowej.
b)Zbadać czy krzywa jest niezdegenerowana.
c)Określić rodzaj krzywej.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \left [ x \ \ y \right ] \left [\begin{matrix} -3 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}\right ] \left [ \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \right ] + \left[ -2\sqrt{2} \ \ 2\sqrt{2}\right] \left [ \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \right ] +1 =0}\) (1)

\(\displaystyle{ \vec{ x^{t}}A \vec{x }+ \vec{K}\vec{x} +1.}\)

Proszę znaleźć wartość własne i macierz wektorów własnych \(\displaystyle{ P}\) macierzy \(\displaystyle{ A}\)

i zastosować do (1) podstawienie \(\displaystyle{ \vec{x}= P\vec{x'}.}\)

[max123321]

Wartości własne
\(\displaystyle{ \lambda _{1}= \sqrt{13},\lambda _{2}= -\sqrt{13}}\)
wektory własne
\(\displaystyle{ \left[ 1, \frac{3+ \sqrt{13} }{2} \right],\left[ 1, \frac{3- \sqrt{13} }{2} \right]}\)
macierz
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 1&1\\\frac{3+ \sqrt{13} }{2}&\frac{3- \sqrt{13} }{2}\end{array} \right]}\)

i co dalej?

[janusz47]

Podstawiamy:

\(\displaystyle{ (P\vec{x'})^{t}A(P\vec{x'})+K(P\vec{x'})+1=0.}\)

lepiej do równania tej postaci:

\(\displaystyle{ \vec{x'}^{t}(P^{t}AP)\vec{x'}+(KP)\vec{x'}+1 =0.}\)

gdzie

\(\displaystyle{ \vec{x'}^{t}= \left [ x', \ \ y'\right].}\)

Musimy zredukować "wyraz mieszany" \(\displaystyle{ 4xy.}\)

[max123321]

Ta macierz \(\displaystyle{ (P^{t}AP)}\) wychodzi mi bardzo brzydka. Do czego wogóle zmierzamy? Czy szukamy \(\displaystyle{ \vec{x'}^{t}= \left [ x', \ \ y'\right]}\) ? Po co nam to?

[janusz47]

Dlaczego brzydka redukują się liczby \(\displaystyle{ 3,-3}\)

Dążymy do postaci formy kwadratowej bez wyrazu \(\displaystyle{ 4xy}\)

tj. postaci

\(\displaystyle{ ax'^{2} \pm by'^{2} \pm cx' \pm dy' +1 =0.}\)

[max123321]

No na chwile się redukują, ale i tak dostajemy ułamek z liczbą i pierwiastkiem. Jaka Tobie wyszła ta macierz \(\displaystyle{ (P^{t}AP)}\)? Możesz pokazać dalej rachunki? Bo dalej chyba nie przebrniemy inaczej.

[janusz47]

\(\displaystyle{ P^{t}AP = \frac{1}{4}\left[\begin{matrix}27\sqrt{13}+81 & 3-\sqrt{13}\\ 3+\sqrt{13}& -27\sqrt{13}+81 \end{matrix}\right].}\)

\(\displaystyle{ K\cdot P = \left [\sqrt{2}+\sqrt{26}, \ \ \sqrt{2}-\sqrt{26}\right].}\)