Odzworowanie liniowe

[jasio325]

Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ P: \RR^{3} \rightarrow \RR^{3}}\) przyjmuje na wektorach bazy \(\displaystyle{ e_{1}=(1,0,1), e_{2}=(0,1,1), e_{3}=(1,1,0)}\) wartości \(\displaystyle{ P(e_{1})=(1,1,0), P(e_{2})=(0,1,0), P(e_{3})=(0,0,2)}\). Obliczyć wartość \(\displaystyle{ P(2,2,2)}\).

Nie wiem jak wyznaczyć wzór przekształcenia. Kombinowałem \(\displaystyle{ P(x,y,z)= \alpha (e_{1}) + \beta (e_{2}) + \gamma (e_{3})}\), ale nie mogłem wyliczyć współczynników \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\), nie jestem nawet pewien czy to trzeba tak liczyć czy jest jakiś inny sposób. Z góry dziękuję za wszelką pomoc

[Premislav]

Nie pytają Cię przecież o wzór przekształcenia. Można go znaleźć, ale nie trzeba.
Możesz przedstawić wektor \(\displaystyle{ (2,2,2)}\) w postaci kombinacji liniowej wektorów \(\displaystyle{ e_1,e_2, e_3}\), tj. \(\displaystyle{ (2,2,2)=\alpha \cdot e_1+\beta \cdot e_2+\gamma \cdot e_3}\)
(to jest układ trzech równań z trzema niewiadomymi, znajdujesz po prostu odpowiednie wartości \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\)).
Skoro odwzorowanie \(\displaystyle{ P}\) jest liniowe i \(\displaystyle{ (2,2,2)=\alpha \cdot e_1+\beta \cdot e_2+\gamma \cdot e_3}\), to \(\displaystyle{ P((2,2,2))=\alpha \cdot P(e_1)+\beta\cdot P(e_2)+\gamma \cdot P(e_3).}\)

[jasio325]

Faktycznie, wzór na przekształcenie w tym zadaniu mi nie był do niczego potrzebny, dzięki wielkie