Macierz Jordana

[blade]

Znaleźć macierz Jordana w bazie kanonicznej \(\displaystyle{ (1,x,x^2,x^3)}\).
A - macierz endomorfizmu \(\displaystyle{ f:\RR_{[x]_3} \rightarrow \RR_{[x]_3}}\)
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cccc}2&-1&2&-1\\0&1&2&-1\\0&0&2&0\\0&1&-2&3\end{array}\right]}\)

Wartości własne :
\(\displaystyle{ \lambda = 2, k=4}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&-1&2&-1\\0&-1&2&-1\\0&0&0&0\\0&1&-2&1\end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}a=\alpha\\b=2\beta-\gamma\\c=\beta\\d=\gamma\end{cases}\\
\alpha \cdot 1 + \beta(2x+x^2) + \gamma(-x+x^3)\\
V_1^{(1)}=lin\{1,2x+x^2,-x+x^3\}\\
\dim V_1 = 3 < 4=k\\}\)


będzie jeden wektor główny drugiego rzędu, 3 klatki Jordana.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&-1&2&-1\\0&-1&2&-1\\0&0&0&0\\0&1&-2&1\end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c}\alpha\\2\beta -\gamma\\\beta\\\delta\end{array}\right]}\)

gdzie \(\displaystyle{ \alpha \neq 0 \vee \beta \neq 0 \vee \gamma \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha = -\gamma \\ \beta = 0 \\ b = 2\delta -\epsilon + \gamma \\ a=\Delta \\ c=\delta \\ d=\epsilon\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \Delta \cdot 1 + \delta(2x+x^2) + \epsilon(-x+x^3) +\gamma x\\
V_1^{(2)} = lin\{1,2x+x^2,-x+x^3,x\}}\)

\(\displaystyle{ dim V_1^{(2)} = 4 = k}\)

1 klatka Jordana :
\(\displaystyle{ \alpha = 1}\), reszta \(\displaystyle{ =0}\), wektor własny i odpowiadający mu wektor drugiego rzędu :
\(\displaystyle{ v_{11}^{(1)}=[1,0,0,0]_B = 1\\}\)

2 klatka :
\(\displaystyle{ \beta = 1: \\
v_{22}^{(1)} = [0,2,1,0]_B = 2x+x^2\\}\)

3 klatka :
\(\displaystyle{ \gamma = 1 :\\
v_{33}^{(1)} = [0,-1,0,1]_B=-x+x^3\\
v_{33}^{(2)} = [0,1,0,0]_B=x \\

B_{\lambda} = (1,2x+x^2,-x+x^3,x)}\)

\(\displaystyle{ J=\left[ \begin{array}{cccc}2&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{array}\right] \\ \\
P_{B_k \rightarrow B_{\lambda}} = \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&2&-1&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right]}\)

Jednak rozwiązanie jest złe, bo \(\displaystyle{ J\neq P^{-1}\cdot A \cdot P}\)
Mógłby ktoś wskazać mi błąd?

[NogaWeza]

\(\displaystyle{ A - \lambda I =\left[\begin{array}{cccc}0&-1&2&-1\\0&-1&2&-1\\0&0&2&0\\0&1&-2&\red 1\end{array}\right]}\), podczas gdy Ty piszesz tam \(\displaystyle{ 0}\). Wektory własne wyszły mi takie same, wobec tego coś tam przy wyznaczaniu wektora głównego musi być nie tak. Przepraszam ale nie mam więcej czasu na sprawdzenie tego

[blade]

Wszystko jest dobrze, przepisywałem z zeszytu i z rozpędu źle napisałem, a później to już tylko kopiuj wklej. Już poprawiam.-- 20 cze 2016, o 15:54 --Nieaktualne, jeśli kogoś interesuje rozwiązanie, zapraszam na priv.